Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
g(x)=\ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função g dada por
g(x)=\ln(2x+1).
As perguntas são:
  • Determinar o domínio natural de g (todos os x em que g(x) está bem definida).
  • Determinar a imagem de g (todos os valores possíveis de g(x) quando x varia no domínio).
Dados relevantes: a função está escrita como logaritmo natural \ln aplicado à expressão linear 2x+1.

Passo 2

Lembrete importante sobre a função \ln:
  • A função \ln(t) está definida somente para t>0. Isso é o que determina o domínio quando \ln aparece composta com outra expressão.
  • A imagem de \ln quando t percorre (0,\infty) é todo o conjunto dos números reais: (-\infty,\infty). Explicando rápido: \lim_{t\to0^+}\ln(t)=-\infty e \lim_{t\to\infty}\ln(t)=\infty, e \ln é contínua e estritamente crescente em (0,\infty).

Passo 3

Para encontrar o domínio, impondo que o argumento do logaritmo seja positivo:
2x+1>0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
2x>-1
x>-\tfrac{1}{2}.
Portanto todas as x maiores que -\tfrac{1}{2} tornam o argumento positivo.

Passo 4

Observação sobre o ponto x=-\tfrac{1}{2}: nesse x temos 2x+1=0, e \ln(0) não está definida, por isso o extremo -\tfrac{1}{2} é excluído do domínio. Não há outras restrições da expressão, então o domínio natural é o intervalo aberto à direita de -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora vamos determinar a imagem. Faça a substituição simples
y=2x+1.
Quando x varia em \bigl(-\tfrac{1}{2},\infty\bigr), y varia em (0,\infty) (isso vem diretamente da desigualdade anterior). Como a função \ln toma todos os valores reais quando aplicada a (0,\infty), segue que g(x)=\ln(y) toma todos os valores em (-\infty,\infty).
Complemento (intuição):
  • \displaystyle\lim_{x\to -\tfrac{1}{2}^+}g(x)=\lim_{y\to0^+}\ln(y)=-\infty.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{y\to\infty}\ln(y)=\infty.
    Também g'(x)=\dfrac{2}{2x+1}>0 em todo o domínio, então g é estritamente crescente e contínua ali, reforçando que a imagem é um intervalo que vai de -\infty a \infty.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia:
  • Para x=0: g(0)=\ln(1)=0.
  • Para x=1: g(1)=\ln(3)>0.
  • Para x=-\tfrac{1}{4}: g(-\tfrac{1}{4})=\ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)<0.
    Esses exemplos mostram que valores negativos e positivos de g(x) ocorrem, e com os limites vistos antes concluímos que todos os reais aparecem.

Resposta

Domínio: \left(-\tfrac{1}{2},\infty\right)
Imagem: (-\infty,\infty)

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