Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada por
As perguntas são:
- Determinar o domínio natural de
(todos os em que está bem definida). - Determinar a imagem de
(todos os valores possíveis de quando varia no domínio).
Dados relevantes: a função está escrita como logaritmo natural
aplicado à expressão linear
.
Passo 2
Lembrete importante sobre a função
:
- A função
está definida somente para . Isso é o que determina o domínio quando aparece composta com outra expressão. - A imagem de
quando percorre é todo o conjunto dos números reais: . Explicando rápido: e , e é contínua e estritamente crescente em .
Passo 3
Para encontrar o domínio, impondo que o argumento do logaritmo seja positivo:
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
Portanto todas as
maiores que
tornam o argumento positivo.
Passo 4
Observação sobre o ponto
: nesse
temos
, e
não está definida, por isso o extremo
é excluído do domínio. Não há outras restrições da expressão, então o domínio natural é o intervalo aberto à direita de
.
Passo 5
Agora vamos determinar a imagem. Faça a substituição simples
Quando
varia em
,
varia em
(isso vem diretamente da desigualdade anterior). Como a função
toma todos os valores reais quando aplicada a
, segue que
toma todos os valores em
.
Complemento (intuição):
-
. -
.
Tambémem todo o domínio, então é estritamente crescente e contínua ali, reforçando que a imagem é um intervalo que vai de a .
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses exemplos mostram que valores negativos e positivos deocorrem, e com os limites vistos antes concluímos que todos os reais aparecem.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: