Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
h(x)=e^{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por
h(x)=e^{x^{2}-1}
e pede duas coisas:
  • determinar o domínio natural de h;
  • determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de h.
As informações relevantes que temos: a expressão do expoente é x^{2}-1, que é um polinômio em x; a função exterior é a exponencial e^{t}.

Passo 2

O que é “domínio natural”? É o conjunto de todos os valores de x para os quais a fórmula da função faz sentido (está bem definida). Vou lembrar duas coisas simples e úteis:
  • Um polinômio como x^{2}-1 está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}.
Como o expoente x^{2}-1 é definido para todo x\in\mathbb{R} e a exponencial aceita qualquer número real, a composição também está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio natural é \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos estudar a imagem. Uma boa estratégia é primeiro achar a imagem do expoente
s(x)=x^{2}-1,
porque h(x)=e^{s(x)}. Então, quais valores s(x) pode assumir?
Conhecimento básico sobre quadrado: para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0. Subtraindo 1 obtemos
x^{2}-1 \ge -1.
Além disso, o valor -1 é realmente atingido quando x=0, pois 0^{2}-1=-1. Como x^{2} cresce sem limite quando |x|\to\infty, o valor de x^{2}-1 cresce sem limite superior. Portanto a imagem de s é o intervalo
\{\,x^{2}-1 : x\in\mathbb{R}\,\} = [-1,\infty).

Passo 4

Agora usemos o comportamento da exponencial e^{t}. Propriedades importantes e fáceis de lembrar:
  • e^{t} é estritamente crescente em t (se t_{1}<t_{2} então e^{t_{1}}<e^{t_{2}}).
  • e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.
  • e^{t} é contínua e \lim_{t\to\infty} e^{t} = \infty, \lim_{t\to -\infty} e^{t} = 0.
Como s(x) assume todos os valores em [-1,\infty) e a exponencial é crescente, a imagem de h é a imagem de [-1,\infty) por e^{t}, isto é
\{\,e^{t}: t\in[-1,\infty)\,\} = [e^{-1},\infty).
Observações que confirmam isso: em x=0 tem-se h(0)=e^{-1}, então o menor valor \,e^{-1}\, é realmente atingido; e quando |x|\to\infty tem-se h(x)\to\infty, então não há teto superior.

Passo 5

Resumo do raciocínio de forma bem direta, para decorar para a prova:
  • domínio: verificar se há alguma operação proibida (divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, log de número não positivo, etc.). Aqui não há nenhuma dessas; o polinômio e a exponencial são definidos em todos os reais → domínio \mathbb{R}.
  • imagem: achar mínima e comportamento assintótico. O expoente mínimo é -1 (em x=0), logo h tem mínimo e^{-1}. Para |x| grande, x^{2}-1\to\infty e e^{x^{2}-1}\to\infty → imagem [e^{-1},\infty).

Resposta

\text{Domínio}=\mathbb{R}í
\text{Imagem}=[e^{-1},\infty)

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