Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- determinar o domínio natural de
; - determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de
.
As informações relevantes que temos: a expressão do expoente é
, que é um polinômio em
; a função exterior é a exponencial
.
Passo 2
O que é “domínio natural”? É o conjunto de todos os valores de
para os quais a fórmula da função faz sentido (está bem definida). Vou lembrar duas coisas simples e úteis:
- Um polinômio como
está definido para todo . - A função exponencial
está definida para todo .
Como o expoente
é definido para todo
e a exponencial aceita qualquer número real, a composição também está definida para todo
. Portanto o domínio natural é
.
Passo 3
Agora vamos estudar a imagem. Uma boa estratégia é primeiro achar a imagem do expoente
porque
. Então, quais valores
pode assumir?
Conhecimento básico sobre quadrado: para todo
tem-se
. Subtraindo
obtemos
Além disso, o valor
é realmente atingido quando
, pois
. Como
cresce sem limite quando
, o valor de
cresce sem limite superior. Portanto a imagem de
é o intervalo
Passo 4
Agora usemos o comportamento da exponencial
. Propriedades importantes e fáceis de lembrar:
-
é estritamente crescente em (se então ). -
para todo . -
é contínua e , .
Como
assume todos os valores em
e a exponencial é crescente, a imagem de
é a imagem de
por
, isto é
Observações que confirmam isso: em
tem-se
, então o menor valor
é realmente atingido; e quando
tem-se
, então não há teto superior.
Passo 5
Resumo do raciocínio de forma bem direta, para decorar para a prova:
- domínio: verificar se há alguma operação proibida (divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, log de número não positivo, etc.). Aqui não há nenhuma dessas; o polinômio e a exponencial são definidos em todos os reais → domínio
. - imagem: achar mínima e comportamento assintótico. O expoente mínimo é
(em ), logo tem mínimo . Para grande, e → imagem .