Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
p(x)=\frac{x}{|x|}

Passo 1

O enunciado nos deu a função p(x)=\dfrac{x}{|x|} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio natural (ou seja, o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão faz sentido).
  • Determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores que p(x) pode assumir).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve uma divisão por |x|.
  • A função valor absoluto |x| está presente no denominador.

Passo 2

O que significa “domínio natural” aqui e o que pode dar problema:
  • O domínio natural é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão \dfrac{x}{|x|} está bem definida.
  • A expressão estará mal definida se o denominador for zero, porque divisão por zero não é permitida.
  • Portanto, é necessário encontrar os x tais que |x|\neq 0.

Passo 3

Resolver |x|=0:
  • Por definição do valor absoluto, |x|=0 acontece exatamente quando x=0.
  • Conclusão: o único ponto que faz o denominador ser zero é x=0.
  • Logo, todo x diferente de zero não causa problema no denominador.

Passo 4

Logo o domínio natural é todos os reais exceto 0. Em notação:
\text{dom}(p)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
(Explicação curta: |x| é definido para todo x, mas no denominador é preciso excluir o ponto onde |x|=0, isto é x=0.)

Passo 5

Agora vamos simplificar a expressão em duas regiões, usando a definição peça a peça do valor absoluto:
  • Recordando: |x|=\begin{cases}x,& x\ge 0,\\[4pt]-x,& x<0.\end{cases}
  • Como já excluímos x=0 do domínio, só precisamos tratar x>0 e x<0.]

Passo 6

Caso x>0:
  • Temos |x|=x.
  • Portanto
p(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1,
já que para x\neq 0 vale \dfrac{x}{x}=1.
  • Exemplo numérico: p(3)=1.

Passo 7

Caso x<0:
  • Temos |x|=-x (porque x é negativo e -x>0).
  • Portanto
p(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1.
  • Exemplo numérico: p(-2)=-1.

Passo 8

Conclusão sobre a imagem:
  • Para todo x>0 a função vale 1.
  • Para todo x<0 a função vale -1.
  • Ambas as saídas 1 e -1 são realmente atingidas (por exemplo em x=1 e x=-1).
  • Não existem outros valores possíveis para p(x).
Portanto a imagem é o conjunto \{-1,1\}.

Resposta

\text{dom}(p)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
\text{im}(p)=\{-1,1\}

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