Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
Passo 1
O enunciado nos deu a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio natural (ou seja, o conjunto de todos os
para os quais a expressão faz sentido). - Determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores que
pode assumir).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve uma divisão por
. - A função valor absoluto
está presente no denominador.
Passo 2
O que significa “domínio natural” aqui e o que pode dar problema:
- O domínio natural é o conjunto de todos os
para os quais a expressão está bem definida. - A expressão estará mal definida se o denominador for zero, porque divisão por zero não é permitida.
- Portanto, é necessário encontrar os
tais que .
Passo 3
Resolver
:
- Por definição do valor absoluto,
acontece exatamente quando . - Conclusão: o único ponto que faz o denominador ser zero é
. - Logo, todo
diferente de zero não causa problema no denominador.
Passo 4
Logo o domínio natural é todos os reais exceto
. Em notação:
(Explicação curta:
é definido para todo
, mas no denominador é preciso excluir o ponto onde
, isto é
.)
Passo 5
Agora vamos simplificar a expressão em duas regiões, usando a definição peça a peça do valor absoluto:
- Recordando:
- Como já excluímos
do domínio, só precisamos tratar e .]
Passo 6
Caso
:
- Temos
. - Portanto
já que para
vale
.
- Exemplo numérico:
.
Passo 7
Caso
:
- Temos
(porque é negativo e ). - Portanto
- Exemplo numérico:
.
Passo 8
Conclusão sobre a imagem:
- Para todo
a função vale . - Para todo
a função vale . - Ambas as saídas
e são realmente atingidas (por exemplo em e ). - Não existem outros valores possíveis para
.
Portanto a imagem é o conjunto
.