Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
q(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} (simplifique antes)

Passo 1

O enunciado dá a função racional
q(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}
e pede duas coisas:
  • determinar o domínio natural de q;
  • determinar a imagem (contraparte: conjunto de valores que q assume).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • a expressão é uma fração onde o denominador é x-1;
  • o enunciado diz para simplificar antes (ou seja, podemos fatorar e cancelar fatores quando for válido).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica passo a passo.
Primeiro fatoramos o numerador que é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Substituindo na fração:
q(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Agora é tentador “cancelar” o fator (x-1) no numerador e denominador. Isso é uma operação algébrica válida desde que não estejamos em um ponto onde esse fator seja zero. Cancelando (com a observação adiante) obtemos:
q(x)=x+1\qquad\text{para }x\neq1.
Explicando com calma: a simplificação mostra que, para todo x diferente de 1, a expressão original vale exatamente x+1. No entanto, a expressão original é indefinida em x=1 porque ali o denominador zero torna a fração sem significado. Portanto a função simplificada representa a mesma lei que x+1 exceto no ponto x=1, onde há uma descontinuidade removível (um “buraco”).

Passo 3

Determinar o domínio natural.
Regra prática: o domínio natural de uma expressão racional é o conjunto de todos os reais exceto os pontos que anulam o denominador.
Aqui o denominador é x-1. Resolver x-1=0 x=1. Logo x=1 não pode fazer parte do domínio.
Portanto o domínio natural é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\} = (-\infty,1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por q).
Da simplificação temos q(x)=x+1 para todos os x do domínio, isto é, para todos os x\neq1. Então os valores possíveis vêm da reta y=x+1, exceto possivelmente o valor correspondente ao ponto excluído x=1.
Resolver y=x+1 para x x=y-1. Para que um dado y seja atingido por q precisamos que exista x no domínio tal que x=y-1.
  • Se y=2, então x=y-1=1, mas x=1 está excluído do domínio. Logo y=2 não é assumido por q.
  • Se y\neq2, então x=y-1\neq1, logo esse x pertence ao domínio e produz q(x)=y.
Conclusão: todos os reais são valores da função exceto 2. Em notação:
\operatorname{Im}(q)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.
Geometricamente é útil imaginar a reta y=x+1 com um “buraco” no ponto (1,2).

Passo 5

Para fixar: se quiser produzir exemplos concretos — por exemplo y=5 é atingido por x=4 porque q(4)=4+1=5; já y=2 não é atingido por nenhum x válido, porque a única solução seria x=1, excluído.
Força aí — a ideia-chave para a prova é: sempre verifique antes o domínio (zeros do denominador) e, ao cancelar fatores, lembrar que pontos onde se cancelou podem ser pontos excluídos (descontinuidade removível).

Resposta

\mathrm{dom}(q)=(-\infty,1)\cup(1,\infty)
\mathrm{Im}(q)=\mathbb{R}\setminus\{2\}

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