Exercício 3. Para cada função abaixo, determine seu domínio natural e sua imagem:
(simplifique antes)
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- determinar o domínio natural de
; - determinar a imagem (contraparte: conjunto de valores que
assume).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- a expressão é uma fração onde o denominador é
; - o enunciado diz para simplificar antes (ou seja, podemos fatorar e cancelar fatores quando for válido).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica passo a passo.
Primeiro fatoramos o numerador que é uma diferença de quadrados:
Substituindo na fração:
Agora é tentador “cancelar” o fator
no numerador e denominador. Isso é uma operação algébrica válida desde que não estejamos em um ponto onde esse fator seja zero. Cancelando (com a observação adiante) obtemos:
Explicando com calma: a simplificação mostra que, para todo
diferente de
, a expressão original vale exatamente
. No entanto, a expressão original é indefinida em
porque ali o denominador zero torna a fração sem significado. Portanto a função simplificada representa a mesma lei que
exceto no ponto
, onde há uma descontinuidade removível (um “buraco”).
Passo 3
Determinar o domínio natural.
Regra prática: o domínio natural de uma expressão racional é o conjunto de todos os reais exceto os pontos que anulam o denominador.
Aqui o denominador é
. Resolver
dá
. Logo
não pode fazer parte do domínio.
Portanto o domínio natural é
Passo 4
Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
).
Da simplificação temos
para todos os
do domínio, isto é, para todos os
. Então os valores possíveis vêm da reta
, exceto possivelmente o valor correspondente ao ponto excluído
.
Resolver
para
dá
. Para que um dado
seja atingido por
precisamos que exista
no domínio tal que
.
- Se
, então , mas está excluído do domínio. Logo não é assumido por . - Se
, então , logo esse pertence ao domínio e produz .
Conclusão: todos os reais são valores da função exceto
. Em notação:
Geometricamente é útil imaginar a reta
com um “buraco” no ponto
.
Passo 5
Para fixar: se quiser produzir exemplos concretos — por exemplo
é atingido por
porque
; já
não é atingido por nenhum
válido, porque a única solução seria
, excluído.
Força aí — a ideia-chave para a prova é: sempre verifique antes o domínio (zeros do denominador) e, ao cancelar fatores, lembrar que pontos onde se cancelou podem ser pontos excluídos (descontinuidade removível).