Exercício 1.6. Determine \operatorname{Dom}(f) se:
f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=16 - x^{2} - y^{2}\; e pede para determinar \operatorname{Dom}(f).
Informações relevantes que temos:
  • A função é escrita em termos de x e y.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado (não aparecem raízes, frações, logaritmos, etc.).

Passo 2

O que significa “domínio” aqui?
  • O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas (aqui: pares (x,y)) para as quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real.
  • No caso de uma função de duas variáveis, as entradas são pares ordenados (x,y). Queremos identificar todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida como número real.

Passo 3

Quais situações normalmente restringem o domínio? Vou listar e explicar de forma simples:
  • Divisão por zero: se a expressão tiver uma fração, não pode ter denominador igual a zero.
  • Raiz de índice par (por exemplo, \sqrt{\cdot}): o radicando precisa ser maior ou igual a zero quando se exige número real.
  • Logaritmos: o argumento do log deve ser estritamente positivo.
  • Outras funções especiais (ex.: arcos, tangente) têm suas próprias restrições.
    Para resolver o domínio, verificamos se a expressão da função contém alguma dessas operações que impõem restrição.

Passo 4

Analise da expressão \;f(x,y)=16 - x^{2} - y^{2}\;:
  • A expressão usa apenas soma, subtração e potências (elevar ao quadrado).
  • Essas operações (adição, subtração e elevar ao quadrado) estão bem definidas para qualquer número real x e qualquer número real y.
  • Não há divisão por alguma expressão que possa ser zero, não há raiz de índice par, nem logaritmo, nem outra operação com restrição.
    Portanto, não existem valores de (x,y) que tornem a expressão indefinida — para qualquer par de números reais a expressão fornece um número real.
    Exemplos rápidos para ver na prática:
  • Para (x,y)=(0,0) tem-se f(0,0)=16.
  • Para (x,y)=(4,0) tem-se f(4,0)=16-16-0=0.
  • Para (x,y)=(5,0) tem-se f(5,0)=16-25=-9.
    Esses exemplos mostram que a função produz reais positivos, zero e negativos — e todos são valores válidos.

Passo 5

Conclusão lógica: como não há nenhuma operação que restrinja os valores de x e y, a função está definida para todo par de números reais. Em notação comum, isso corresponde a todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}

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