Exercício 1.6. Determine
se:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é escrita em termos de
e . - Não há outras restrições explícitas no enunciado (não aparecem raízes, frações, logaritmos, etc.).
Passo 2
O que significa “domínio” aqui?
- O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas (aqui: pares
) para as quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real. - No caso de uma função de duas variáveis, as entradas são pares ordenados
. Queremos identificar todos os pares para os quais está bem definida como número real.
Passo 3
Quais situações normalmente restringem o domínio? Vou listar e explicar de forma simples:
- Divisão por zero: se a expressão tiver uma fração, não pode ter denominador igual a zero.
- Raiz de índice par (por exemplo,
): o radicando precisa ser maior ou igual a zero quando se exige número real. - Logaritmos: o argumento do log deve ser estritamente positivo.
- Outras funções especiais (ex.: arcos, tangente) têm suas próprias restrições.
Para resolver o domínio, verificamos se a expressão da função contém alguma dessas operações que impõem restrição.
Passo 4
Analise da expressão
:
- A expressão usa apenas soma, subtração e potências (elevar ao quadrado).
- Essas operações (adição, subtração e elevar ao quadrado) estão bem definidas para qualquer número real
e qualquer número real . - Não há divisão por alguma expressão que possa ser zero, não há raiz de índice par, nem logaritmo, nem outra operação com restrição.
Portanto, não existem valores deque tornem a expressão indefinida — para qualquer par de números reais a expressão fornece um número real.
Exemplos rápidos para ver na prática: - Para
tem-se . - Para
tem-se . - Para
tem-se .
Esses exemplos mostram que a função produz reais positivos, zero e negativos — e todos são valores válidos.
Passo 5
Conclusão lógica: como não há nenhuma operação que restrinja os valores de
e
, a função está definida para todo par de números reais. Em notação comum, isso corresponde a todo o plano
.