Determine as assíntotas verticais e calcule os limites laterais nas assíntotas verticais de:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Determinar as assíntotas verticais de
. - Calcular os limites laterais de
nessas assíntotas verticais (ou seja, os limites quando se aproxima do ponto da assíntota pela direita e pela esquerda).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Pontos onde o denominador é zero são candidatos a singularidades/assíntotas verticais. O denominador anula-se em
(peguei isso do próprio enunciado da função). - O domínio de
é todos os reais exceto .
Passo 2
Breve aula didática sobre assíntotas verticais em funções racionais (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Definição prática: para uma função
, dizer que é assíntota vertical significa que, ao nos aproximarmos de por um dos lados ou ambos, os valores de crescem em módulo sem limite, isto é, pelo menos uma das quantidades
é igual a
ou a
.
- Critério rápido para funções racionais
com polinômios:
- Se
e , então é uma assíntota vertical (o valor da função tende a quando ), porque o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a zero mudando sinal. - Se
e , então pode ser um ponto removível (buraco) ou uma assíntota dependendo da multiplicidade das raízes; aí há que fatorar e simplificar antes de decidir.
- Para decidir o sinal (se vai para
ou para ao aproximar por um lado), verifica-se o sinal do numerador e do denominador próximos de .
Passo 3
Aplicando o critério ao nosso caso:
- Verifico o zero do denominador:
em . - Avalio o numerador em
: . Como , cumpre-se a condição do item 2 acima: o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a zero. Assim é candidato a assíntota vertical. Vou confirmar calculando os limites laterais.
Passo 4
Truque útil (e muito prático para provas): fazer divisão polinomial para decompor a função em uma parte regular mais uma parte que mostra claramente o comportamento singular. Faço a divisão de
por
.
- Divisão: dividir
por . - O primeiro termo do quociente é
, porque . - Subtraindo obtemos resto
. - Próximo termo do quociente é
, porque . - Subtraindo obtemos resto
.
- O primeiro termo do quociente é
Logo a divisão dá quociente
e resto
. Isto é,
Dividindo por
,
Explicação do que isso significa: a parte
é um polinômio contínuo em toda parte, e a parte singular fica toda concentrada em
. Portanto o comportamento quando
se aproxima de
é dominado por
.
Passo 5
Calcular os limites laterais usando a decomposição
.
- Limite pela esquerda:
.
- O termo
tende para . - O termo
: quando se aproxima de pela esquerda, é um número negativo e de módulo muito pequeno (por exemplo ), então tende para . - Soma de um número finito
com é . Portanto
- Limite pela direita:
.
- O termo
tende igualmente para . - O termo
: agora é um número positivo e muito pequeno (por exemplo ), então tende para . - Soma de
com é . Portanto
Passo 6
Checagem alternativa (análise de sinal, para consolidar o raciocínio):
- Perto de
, o numerador é sempre positivo (pois ). Logo numerador tanto à esquerda quanto à direita de . - O sinal do denominador
é negativo para e positivo para . - Assim para
a fração tem sinal negativo e módulo crescerá muito (denominador tende a ), dando . Para dá . Isso confirma os resultados do passo anterior.
Resposta
A assíntota vertical é
.