Determine as assíntotas verticais e calcule os limites laterais nas assíntotas verticais de:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1} e pede duas coisas:
  • Determinar as assíntotas verticais de f.
  • Calcular os limites laterais de f nessas assíntotas verticais (ou seja, os limites quando x se aproxima do ponto da assíntota pela direita e pela esquerda).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador x^{2}+1 e denominador x+1.
  • Pontos onde o denominador é zero são candidatos a singularidades/assíntotas verticais. O denominador anula-se em x=-1 (peguei isso do próprio enunciado da função).
  • O domínio de f é todos os reais exceto x=-1.

Passo 2

Breve aula didática sobre assíntotas verticais em funções racionais (passo-a-passo, sem pular etapas):
  1. Definição prática: para uma função f, dizer que x=a é assíntota vertical significa que, ao nos aproximarmos de a por um dos lados ou ambos, os valores de f(x) crescem em módulo sem limite, isto é, pelo menos uma das quantidades
\lim_{x\to a^-} f(x),\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)
é igual a +\infty ou a -\infty.
  1. Critério rápido para funções racionais \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P,Q polinômios:
  • Se Q(a)=0 e P(a)\neq0, então x=a é uma assíntota vertical (o valor da função tende a \pm\infty quando x\to a), porque o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a zero mudando sinal.
  • Se Q(a)=0 e P(a)=0, então pode ser um ponto removível (buraco) ou uma assíntota dependendo da multiplicidade das raízes; aí há que fatorar e simplificar antes de decidir.
  1. Para decidir o sinal (se vai para +\infty ou para -\infty ao aproximar por um lado), verifica-se o sinal do numerador e do denominador próximos de a.

Passo 3

Aplicando o critério ao nosso caso:
  • Verifico o zero do denominador: x+1=0 em x=-1.
  • Avalio o numerador em x=-1: (-1)^{2}+1 = 1+1 = 2. Como 2\neq0, cumpre-se a condição do item 2 acima: o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a zero. Assim \,x=-1 é candidato a assíntota vertical. Vou confirmar calculando os limites laterais.

Passo 4

Truque útil (e muito prático para provas): fazer divisão polinomial para decompor a função em uma parte regular mais uma parte que mostra claramente o comportamento singular. Faço a divisão de x^{2}+1 por x+1.
  • Divisão: dividir x^{2}+0x+1 por x+1.
    • O primeiro termo do quociente é x, porque x\cdot (x+1)=x^{2}+x.
    • Subtraindo obtemos resto (x^{2}+0x+1)-(x^{2}+x)= -x+1.
    • Próximo termo do quociente é -1, porque -1\cdot(x+1)=-x-1.
    • Subtraindo obtemos resto (-x+1)-(-x-1)=2.
Logo a divisão dá quociente x-1 e resto 2. Isto é,
x^{2}+1=(x+1)(x-1)+2.
Dividindo por x+1,
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}.
Explicação do que isso significa: a parte x-1 é um polinômio contínuo em toda parte, e a parte singular fica toda concentrada em \dfrac{2}{x+1}. Portanto o comportamento quando x se aproxima de -1 é dominado por \dfrac{2}{x+1}.

Passo 5

Calcular os limites laterais usando a decomposição \displaystyle f(x)=x-1+\frac{2}{x+1}.
  1. Limite pela esquerda: x\to -1^{-}.
  • O termo x-1 tende para -1-1=-2.
  • O termo \dfrac{2}{x+1}: quando x se aproxima de -1 pela esquerda, x+1 é um número negativo e de módulo muito pequeno (por exemplo x=-1{,}1\Rightarrow x+1=-0{,}1), então \dfrac{2}{x+1} tende para -\infty.
  • Soma de um número finito (-2) com -\infty é -\infty. Portanto
\lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -\infty.
  1. Limite pela direita: x\to -1^{+}.
  • O termo x-1 tende igualmente para -2.
  • O termo \dfrac{2}{x+1}: agora x+1 é um número positivo e muito pequeno (por exemplo x=-0{,}9\Rightarrow x+1=0{,}1), então \dfrac{2}{x+1} tende para +\infty.
  • Soma de -2 com +\infty é +\infty. Portanto
\lim_{x\to -1^{+}} f(x) = +\infty.

Passo 6

Checagem alternativa (análise de sinal, para consolidar o raciocínio):
  • Perto de x=-1, o numerador x^{2}+1 é sempre positivo (pois x^{2}\ge0\Rightarrow x^{2}+1\ge1). Logo numerador \\ >0 tanto à esquerda quanto à direita de -1.
  • O sinal do denominador x+1 é negativo para x<-1 e positivo para x>-1.
  • Assim para x\to-1^{-} a fração tem sinal negativo e módulo crescerá muito (denominador tende a 0), dando -\infty. Para x\to-1^{+} +\infty. Isso confirma os resultados do passo anterior.

Resposta

A assíntota vertical é x=-1.
\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = +\infty

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