Determine as assíntotas verticais e calcule os limites laterais nas assíntotas verticais de: f(x)=\frac{x^{3}-3 x-1}{x^{2}-x}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função f:
Determinar as assíntotas verticais.
Calcular os limites laterais de f em cada assíntota vertical (isto é, os limites \lim_{x\to a^-}f(x) e \lim_{x\to a^+}f(x) para cada ponto a que é assíntota).
A função dada é
f(x)=\frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x}.
Dados relevantes que temos do enunciado:
Numerador: x^{3}-3x-1.
Denominador: x^{2}-x.
Pontos onde o denominador se anula são candidatos a pontos singulares (possíveis assíntotas verticais); é preciso verificar o comportamento da função nesses pontos e se ocorre cancelamento com o numerador.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos do denominador (candidatos a assíntotas): resolver x^{2}-x=0.
x^{2}-x = x(x-1)=0
Logo os pontos candidatos são x=0 e x=1. Esses são os únicos pontos onde a função não está definida por causa do denominador.
Passo 3
Verificar se algum desses pontos é um caso de cancelamento (remoção) ou um polo (assíntota vertical). Para isso avaliamos o numerador nesses pontos:
Como o numerador é diferente de zero em x=0 e em x=1, não há cancelamento de fatores: os zeros do denominador são polos (singularidades não removíveis). Portanto x=0 e x=1 são assíntotas verticais (mas ainda falta confirmar que os limites laterais realmente divergem para infinito, o que faremos a seguir).
Passo 4
Calcular os limites laterais em x=0. Estratégia: manipular f(x) de forma a separar um fator que tenda a uma constante não nula e um fator que tenda a 1/x, cuja divergência é clara.
Resumo interpretativo (rápido e motivador): em ambos os pontos x=0 e x=1 o denominador zera enquanto o numerador não zera, gerando divergências do tipo infinito. A análise dos sinais perto de cada ponto, feita através das manipulações acima, mostra as direções (mais/menos infinito) de cada limite lateral.