Determine as assíntotas verticais e calcule os limites laterais nas assíntotas verticais de:
f(x)=\frac{x^{3}-3 x-1}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f:
  • Determinar as assíntotas verticais.
  • Calcular os limites laterais de f em cada assíntota vertical (isto é, os limites \lim_{x\to a^-}f(x) e \lim_{x\to a^+}f(x) para cada ponto a que é assíntota).
A função dada é
f(x)=\frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x}.
Dados relevantes que temos do enunciado:
  • Numerador: x^{3}-3x-1.
  • Denominador: x^{2}-x.
  • Pontos onde o denominador se anula são candidatos a pontos singulares (possíveis assíntotas verticais); é preciso verificar o comportamento da função nesses pontos e se ocorre cancelamento com o numerador.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos do denominador (candidatos a assíntotas): resolver x^{2}-x=0.
x^{2}-x = x(x-1)=0
Logo os pontos candidatos são x=0 e x=1. Esses são os únicos pontos onde a função não está definida por causa do denominador.

Passo 3

Verificar se algum desses pontos é um caso de cancelamento (remoção) ou um polo (assíntota vertical). Para isso avaliamos o numerador nesses pontos:
\text{Para }x=0:\qquad x^{3}-3x-1\big|_{x=0} = -1 \neq 0.
\text{Para }x=1:\qquad x^{3}-3x-1\big|_{x=1} = 1-3-1 = -3 \neq 0.
Como o numerador é diferente de zero em x=0 e em x=1, não há cancelamento de fatores: os zeros do denominador são polos (singularidades não removíveis). Portanto x=0 e x=1 são assíntotas verticais (mas ainda falta confirmar que os limites laterais realmente divergem para infinito, o que faremos a seguir).

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=0. Estratégia: manipular f(x) de forma a separar um fator que tenda a uma constante não nula e um fator que tenda a 1/x, cuja divergência é clara.
Escrevendo
f(x)=\frac{x^{3}-3x-1}{x(x-1)}=\frac{x^{3}-3x-1}{x-1}\cdot\frac{1}{x}.
Agora avaliamos a primeira fração quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{x^{3}-3x-1}{x-1}=\frac{(-1)}{(-1)}=1,
pois ao substituir x=0 obtemos numerador -1 e denominador -1. Assim, perto de 0 temos comportamento equivalente a
f(x)\sim \frac{1}{x}.
Portanto:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 5

Calcular os limites laterais em x=1. Fazemos uma manipulação análoga, isolando o fator (x-1) no denominador:
f(x)=\frac{x^{3}-3x-1}{x(x-1)}=\frac{x^{3}-3x-1}{x}\cdot\frac{1}{x-1}.
Avaliaremos a primeira fração quando x\to1:
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-3x-1}{x}=\frac{-3}{1}=-3,
pois substituindo x=1 obtemos numerador -3 e denominador 1. Logo, perto de 1 a função comporta-se como
f(x)\sim \frac{-3}{x-1}.
Assim:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{-3}{x-1}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{-3}{x-1}=-\infty.

Passo 6

Resumo interpretativo (rápido e motivador): em ambos os pontos x=0 e x=1 o denominador zera enquanto o numerador não zera, gerando divergências do tipo infinito. A análise dos sinais perto de cada ponto, feita através das manipulações acima, mostra as direções (mais/menos infinito) de cada limite lateral.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0 e x=1
\displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x) = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x) = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x) = -\infty

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