Limites: Calcule os seguintes limites abaixo se existirem. Caso contrário, justifique a não existência.
lim x 1 raizx+raiz[3]x-2raiz[5]x+raiz[3]x-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1raizx+raiz[3]x-2raiz[5]x+raiz[3]x-2
O conteúdo é limites de forma indeterminada do tipo tfrac00. Vamos usar a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Substituindo x=1 no numerador e no denominador obtemos
1+1-2=0
em ambos, de modo que aparece a indeterminação tfrac00. Portanto podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x. Se definirmos
f(x)=raizx+raiz[3]x-2, g(x)=raiz[5]x+raiz[3]x-2,
então
f'(x)=12x^1/2+13x^2/3, g'(x)=15x^4/5+13x^2/3

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
f'(1)=12+13=56, g'(1)=15+13=815
Pela regra de l’Hôpital, o limite original vale
f'(1)g'(1) =tfrac56tfrac815 =56times158 =2516

Resposta

2516

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