Exercício 1.8.1. Para cada função, determine o domínio e o conjunto imagem.
f(x, y)=cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis
f(x,y)=cos(xy)
determinar o domínio (conjunto de todos os pares (x,y) em que a função faz sentido) e o conjunto imagem (todos os valores que f pode assumir). Vamos usar o fato de que a função cosseno aceita qualquer argumento real e varia entre -1 e 1.

Passo 2

Para achar o domínio, percebemos que a expressão interior do cosseno é xy. Como cos(t) está definida para todo tinR, não há restrição sobre x e y. Logo,
Domínio(f)=(x,y)mid xinR,,yinR=R^2 í

Passo 3

Para o conjunto imagem, lembramos que para qualquer tinR vale
-1<= cos(t)<= 1
e, de fato, todo valor em [-1,1] é atingido por cos para algum t. Como t=xy percorre todo R quando (x,y) percorre R^2, a imagem de f é
Im(f)=[-1,1]

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: [-1,1]

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