Item 6.
Prove o seguinte Corolário do Teorema da Perturbação da Unidade.
Corolário 5. Seja
um aberto e
uma função definida por
, em que
i)
é uma transformação linear bijetora.
ii) Existe
tal que
para todo
.
Logo
é um homeomorfismo e
é um aberto.
(Dica: Comece considerando a função
e mostre que ela satisfaz as hipóteses do Teorema da Perturbação da Unidade).
Prove o seguinte Corolário do Teorema da Perturbação da Unidade.
Corolário 5. Seja
i)
ii) Existe
(Dica: Comece considerando a função
Passo 1
O enunciado define uma função
por
onde
.
é linear bijetora,
. existe
tal que
Queremos mostrar que
é um homeomorfismo de
sobre
e que
é aberto. Para isso vamos aplicar o Teorema da Perturbação da Unidade a uma função que reduza
à forma “identidade
mapa Lipschitz de constante menor que
”.
Passo 2
Defina
Então, para todo
,
onde introduzimos
. Logo
.
Passo 3
Vamos verificar que
é Lipschitz de constante menor que
. Para
vale
Como
, definindo
temos
e
Portanto
satisfaz as hipóteses do Teorema da Perturbação da Unidade (identidade mais perturbador Lipschitz de constante <
). Dessarte
é um homeomorfismo de
sobre o seu image
, e
é aberto em
.
Passo 4
Agora
. Sabendo que
-
é homeomorfismo e é aberto, -
é uma transformação linear bijetora (logo homeomorfismo e aplicação aberta),
segue queé composição de homeomorfismos. Assim é homeomorfismo e, comof:Omegato f(Omega) é aberto eg(Omega) é aberto,T também é aberto.f(Omega)=Tl(g(Omega)r)