Item 6.
Prove o seguinte Corolário do Teorema da Perturbação da Unidade.
Corolário 5. Seja Omega subset R^n um aberto e f: Omega R^n uma função definida por f(x)=T(x)+varphi(x), em que
i) T: R^n R^n é uma transformação linear bijetora.
ii) Existe lambda<1|T^-1| tal que |varphi(x)-varphi(y)| <= lambda|x-y| para todo x, y in Omega.
Logo f: Omega f(Omega) é um homeomorfismo e f(Omega) é um aberto.
(Dica: Comece considerando a função T^-1 circ f: Omega R^n e mostre que ela satisfaz as hipóteses do Teorema da Perturbação da Unidade).

Passo 1

O enunciado define uma função f:OmegasubsetR^ntoR^n por
f(x)=T(x)+varphi(x),
onde
1. T:R^ntoR^n é linear bijetora,
2. existe lambda<1/|T^-1| tal que
|varphi(x)-varphi(y)|<=lambda|x-y| forall,x,yinOmega
Queremos mostrar que f é um homeomorfismo de Omega sobre f(Omega) e que f(Omega) é aberto. Para isso vamos aplicar o Teorema da Perturbação da Unidade a uma função que reduza f à forma “identidade + mapa Lipschitz de constante menor que 1”.

Passo 2

Defina
g := T^-1circ f:OmegatoR^n
Então, para todo xinOmega,
g(x) = T^-1l(T(x)+varphi(x)r) = x + psi(x),
onde introduzimos psi(x)=T^-1varphi(x). Logo g(x)=x+psi(x).

Passo 3

Vamos verificar que psi é Lipschitz de constante menor que 1. Para x,yinOmega vale
|psi(x)-psi(y)| =|T^-1varphi(x)-T^-1varphi(y)| <=|T^-1|;|varphi(x)-varphi(y)| <=|T^-1|;lambda,|x-y|
Como lambda<1/|T^-1|, definindo mu=|T^-1|lambda temos mu<1 e
|psi(x)-psi(y)|<=mu,|x-y|, mu<1
Portanto g(x)=x+psi(x) satisfaz as hipóteses do Teorema da Perturbação da Unidade (identidade mais perturbador Lipschitz de constante < 1). Dessarte g é um homeomorfismo de Omega sobre o seu image g(Omega), e g(Omega) é aberto em R^n.

Passo 4

Agora f = Tcirc g. Sabendo que
  • g:Omegato g(Omega) é homeomorfismo e g(Omega) é aberto,
  • T:R^ntoR^n é uma transformação linear bijetora (logo homeomorfismo e aplicação aberta),
    segue que f=lTr|g(Omega)circ g é composição de homeomorfismos. Assim f:Omegato f(Omega) é homeomorfismo e, como g(Omega) é aberto e T é aberto, f(Omega)=Tl(g(Omega)r) também é aberto.

Resposta

f:Omegato f(Omega) é um homeomorfismo e f(Omega) é aberto.

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