Exercício 1.6.2. Discuta a continuidade das seguintes funções:
m(x, y)=2y-x^2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta a continuidade da função de duas variáveis
m(x,y)=2y - x^2
O tema aqui é continuidade de funções de várias variáveis, e vamos usar o fato de que soma, produto e quociente de funções contínuas são contínuas em pontos onde o denominador é não nulo.

Passo 2

Identificamos o domínio natural de m. Como ela é dada por um quociente, precisamos que o denominador não se anule:
y - x^2 neq 0
Logo o domínio é
D = l(x,y)inR^2mid y neq x^2r

Passo 3

No domínio D, tanto a função (x,y)mapsto 2 quanto a função (x,y)mapsto y - x^2 são contínuas (são polinômios em x e y). Como o denominador y - x^2 é diferente de zero em D, o quociente
(x,y)mapsto 2y - x^2
é contínuo em todo ponto de D.

Passo 4

Em qualquer ponto (x0,y0) tal que y0=x0^2, a função não está definida (denominador nulo). Portanto não há continuidade nesses pontos: a função nem sequer existe ali.

Resposta

A função m(x,y) é contínua em todo (x,y) que satisfaz y neq x^2 e não é definida (logo não é contínua) ao longo da parábola y = x^2.

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