Juntando os Itens 2, 3 e 4, prove o seguinte teorema:
Teorema 4. (Teorema da Perturbação da Unidade) Seja Omega subset R^n um aberto e varphi: Omega R^n uma contração, ou seja, uma função para a qual existe lambda in] 0,1[ tal que |varphi(x)-varphi(y)| <= lambda|x-y|, para todo x, y in Omega. Seja f: Omega R^n dada por f(x)=x+varphi(x). Logo f: Omega f(Omega) é um homeomorfismo e f(Omega) é um aberto de R^n.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos um aberto OmegasubsetR^n e uma função varphi:OmegatoR^n que é contração, isto é, existe lambdain(0,1) tal que
|varphi(x)-varphi(y)|<=lambda|x-y|,
para todo x,yinOmega. Definimos
f(x)=x+varphi(x)
Queremos mostrar que f:Omegato f(Omega) é um homeomorfismo (bijetiva, contínua e com inversa contínua) e que f(Omega) é aberto. Para isso, vamos usar o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Item 2) e estimativas de Lipschitz (Itens 3 e 4).

Passo 2

Injetividade de f
Suponha f(x)=f(y). Então
x+varphi(x)=y+varphi(y) ;Longrightarrow; x-y=varphi(y)-varphi(x)
Tomando norma em ambos os lados e usando a contração, obtemos
|x-y|=|varphi(y)-varphi(x)|<=lambda|y-x|=lambda|x-y|
Como lambda<1, só pode acontecer (1-lambda)|x-y|<=0 se |x-y|=0, ou seja, x=y. Logo f é injetiva.

Passo 3

Sobrejetividade em f(Omega) e existência única de solução
Dado y in f(Omega), queremos achar x in Omega tal que f(x) = y. Isso equivale a resolver
x + varphi(x) = y Long<=ftrightarrow x = T(x),
onde definimos
T(x) = y - varphi(x)
Como varphi é lambda-Lipschitz, T também é contração com constante lambda. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único x in Omega com T(x) = x. Assim, f(x) = y tem solução única, e f é sobrejetiva de Omega em f(Omega).

Passo 4

Continuidade de f e de f^-1
A função f é soma de contínuas, logo contínua. Para mostrar que f^-1 é contínua, tomemos y1,y2in f(Omega) e xi=f^-1(yi). Então
x1-x2 =(y1-varphi(x1))-(y2-varphi(x2)) =(y1-y2)-(varphi(x1)-varphi(x2))
Tomando norma e usando a contração,
|x1-x2|<=|y1-y2|+lambda|x1-x2| ;Longrightarrow; (1-lambda)|x1-x2|<=|y1-y2|
Logo
|f^-1(y1)-f^-1(y2)| =|x1-x2|<=11-lambda,|y1-y2|
Isto mostra que f^-1 é Lipschitz (e, em particular, contínua).

Passo 5

Abertura de f(Omega)
Para ver que f(Omega) é aberto, basta usar o fato de que f^-1 é Lipschitz. Dado xinOmega, seja r>0 tal que B(x,r)subsetOmega. Então, para todo
zin Bl(f(x),(1-lambda)rr),
temos
|f^-1(z)-f^-1(f(x))| <=11-lambda,|z-f(x)|<r,
ou seja, f^-1(z)in B(x,r)subsetOmega, o que implica z=f(f^-1(z))in f(Omega). Assim
Bl(f(x),(1-lambda)rr)subset f(Omega),
mostrando que f(Omega) é aberto.

Resposta

A função f(x)=x+varphi(x) é bijetiva de Omega em f(Omega), contínua e com inversa contínua, logo é um homeomorfismo, e seu conjunto imagem f(Omega) é um aberto de R^n.

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