Juntando os Itens 2, 3 e 4, prove o seguinte teorema:
Teorema 4. (Teorema da Perturbação da Unidade) Seja um aberto e uma contração, ou seja, uma função para a qual existe tal que , para todo . Seja dada por . Logo é um homeomorfismo e é um aberto de .
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos um aberto e uma função que é contração, isto é, existe tal que
para todo . Definimos
Queremos mostrar que é um homeomorfismo (bijetiva, contínua e com inversa contínua) e que é aberto. Para isso, vamos usar o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Item ) e estimativas de Lipschitz (Itens e ).
Passo 2
Injetividade de
Suponha . Então
Tomando norma em ambos os lados e usando a contração, obtemos
Como , só pode acontecer se , ou seja, . Logo é injetiva.
Passo 3
Sobrejetividade em e existência única de solução
Dado , queremos achar tal que . Isso equivale a resolver
onde definimos
Como é -Lipschitz, também é contração com constante . Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único com . Assim, tem solução única, e é sobrejetiva de em .
Passo 4
Continuidade de e de
A função é soma de contínuas, logo contínua. Para mostrar que é contínua, tomemos e . Então
Tomando norma e usando a contração,
Logo
Isto mostra que é Lipschitz (e, em particular, contínua).
Passo 5
Abertura de
Para ver que é aberto, basta usar o fato de que é Lipschitz. Dado , seja tal que . Então, para todo
zin Bl(f(x),(1-lambda)rr),
temos
|f^-1(z)-f^-1(f(x))| <=11-lambda,|z-f(x)|<r,
ou seja, f^-1(z)in B(x,r)subsetOmega, o que implica z=f(f^-1(z))in f(Omega). Assim
Bl(f(x),(1-lambda)rr)subset f(Omega),
mostrando que f(Omega) é aberto.
Resposta
A função f(x)=x+varphi(x) é bijetiva de Omega em f(Omega), contínua e com inversa contínua, logo é um homeomorfismo, e seu conjunto imagem f(Omega) é um aberto de R^n.