Exercício 1.8.1. Para cada função, determine o domínio e o conjunto imagem.
f(x, y)=x yy^2-x^2

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o conjunto imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=x,yy^2-x^2
Para o domínio precisamos evitar zeros no denominador. Para a imagem, mostramos que para todo tinR existe (x,y) tal que f(x,y)=t.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo
y^2-x^2neq 0
ou seja
yneq x e yneq -x
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Dom(f)=(x,y)inR^2mid yneq pm x

Passo 3

Para o conjunto imagem, seja tinR. Queremos (x,y) tal que
x,yy^2-x^2=t
Multiplicando, obtemos a equação em y:
t,y^2-x,y - t,x^2=0
No papel de equação quadrática em y, os coeficientes são
a=t, b=-x, c=-t,x^2,
e o discriminante é
De<a = b^2-4ac = x^2-4,tl(-t,x^2r) = x^2+4,t^2x^2 = x^2l(1+4t^2r)>0
para todo xneq 0. Assim existem duas raízes reais
y=xpm|x|raiz1+4t^22t(tneq 0),
e para t=0 a equação vira x,y=0, de onde basta escolher y=0 (com xneq0) ou x=0 (com yneq0), garantindo f=0 e denominador não nulo. Em todos os casos as soluções satisfazem yneqpm x.
Portanto qualquer tinR é atingido por algum (x,y) no domínio.

Resposta

Domínio:
(x,y)inR^2mid yneq pm x
Imagem:
R

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