Seja Omega subset R^n um aberto e f: Omega R^n uma função de classe C^1. Seja a in Omega tal que f^prime(a): R^n R^n é um isomorfismo. Mostre que existe r>0 tal que Br(a) subset Omega, f(Br(a)) é aberto e f: Br(a) f(Br(a)) é um homeomorfismo.
(Dica: Defina a função s(x)=f(x)-f(a)-f^prime(a)(x-a) e mostre que s(a)=0 e s^prime(a)=0. Observe também que f(x)=f^prime(a)(x)+(f(a)-f^prime(a)(a)+s(x)) e aplique o Corolário anterior, verificando que suas condições são válidas para r>0 suficientemente pequeno).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses
  • OmegasubsetR^n é aberto,
  • fcolonOmegatoR^n é de classe C^1,
  • em ainOmega temos que f'(a) é um isomorfismo linear,
existe um raio r>0 tal que a bola Br(a)subsetOmega é mapeada por f num aberto f(Br(a)) e fcolon Br(a)to f(Br(a)) é um homeomorfismo.
Para isso, vamos usar o corolário que diz basicamente: “se L é invertível e s tem derivada pequena, então xmapsto L(x)+b+s(x) é bijetora sobre um aberto e tem inversa contínua”.

Passo 2

Definimos
s(x);=;f(x);-;f(a);-;f'(a),(x-a)
Então claramente
s(a)=f(a)-f(a)-f'(a),(a-a)=0,
e, como s'(x)=f'(x)-f'(a), temos
s'(a)=f'(a)-f'(a)=0

Passo 3

Como s' é contínua em a e vale s'(a)=0, existe r>0 tal que
Br(a)subsetOmega e supxin Br(a)|s'(x)| ;<;1|[f'(a)]^-1|
Isto garante que, em toda Br(a), a norma de s'(x) é suficientemente pequena para aplicar o corolário.

Passo 4

Reescrevemos f como
f(x) =;f'(a),x ;+;l(f(a)-f'(a),ar) ;+;s(x)
Aqui identificamos
L(x)=f'(a),x, b=f(a)-f'(a),a, e s(x) como acima
Pelo corolário (ou pelo caso especial do Teorema da Função Inversa para perturbação de uma aplicação linear invertível), f é injetora em Br(a), f(Br(a)) é aberto e a inversa f^-1 é contínua sobre esse aberto.

Resposta

Tomando r>0 conforme o Passo 3, temos
Br(a)subsetOmega, f(Br(a)) é aberto, e fcolon Br(a)to f(Br(a)) é um homeomorfismo éé

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