Seja um aberto e uma função de classe . Seja tal que é um isomorfismo. Mostre que existe tal que é aberto e é um homeomorfismo.
(Dica: Defina a função e mostre que e . Observe também que e aplique o Corolário anterior, verificando que suas condições são válidas para suficientemente pequeno).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses
é aberto,
é de classe ,
em temos que é um isomorfismo linear,
existe um raio tal que a bola é mapeada por num aberto e é um homeomorfismo.
Para isso, vamos usar o corolário que diz basicamente: “se é invertível e tem derivada pequena, então é bijetora sobre um aberto e tem inversa contínua”.
Passo 2
Definimos
Então claramente
e, como , temos
Passo 3
Como é contínua em e vale , existe tal que
Isto garante que, em toda Br(a), a norma de s'(x) é suficientemente pequena para aplicar o corolário.
Passo 4
Reescrevemos f como
f(x) =;f'(a),x ;+;l(f(a)-f'(a),ar) ;+;s(x)
Aqui identificamos
L(x)=f'(a),x, b=f(a)-f'(a),a, e s(x) como acima
Pelo corolário (ou pelo caso especial do Teorema da Função Inversa para perturbação de uma aplicação linear invertível), f é injetora em Br(a), f(Br(a)) é aberto e a inversa f^-1 é contínua sobre esse aberto.
Resposta
Tomando r>0 conforme o Passo 3, temos
Br(a)subsetOmega, f(Br(a)) é aberto, e fcolon Br(a)to f(Br(a)) é um homeomorfismo éé