Exercício 3 Para cada função
, faça a análise do sinal da função, ou seja, determine para quais valores de
a função é positiva (
), negativa (
) ou nula
.Considere:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa analisar o sinal da função $ f(x) = \frac{e^{x}(x + d_8)}{(x + 2)(x - d_7)} $. Primeiro, vamos substituir os valores que foram dados: $ d_8 = 1 $ e $ d_7 = 8 $. Então, a função fica:
Para descobrir onde essa função é positiva, negativa ou igual a zero, vamos analisar cada parte dela.
Passo 2
Vamos começar pelo numerador, que é $ e^{x}(x + 1) $. O $ e^{x} $ é uma função exponencial que nunca é zero e sempre positiva. Então, o sinal do numerador depende só de $ x + 1 $.
Passo 3
Analisando $ x + 1 $:
- Se $ x + 1 > 0 $, ou seja, $ x > -1 $, essa parte é positiva.
- Se $ x + 1 < 0 $, ou seja, $ x < -1 $, essa parte é negativa.
- Se $ x + 1 = 0 $, ou seja, $ x = -1 $, o numerador é zero.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o denominador: $ (x + 2)(x - 8) $. Precisamos ver onde ele é positivo ou negativo. Os pontos onde o denominador muda de sinal são $ x = -2 $ e $ x = 8 $.
Passo 5
Vamos dividir a reta numérica em intervalos com base nesses pontos críticos: $ x < -2 $, $ -2 < x < 8 $ e $ x > 8 $. Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de $ (x + 2) $ e $ (x - 8) $:
- Para $ x < -2 $:
- $ x + 2 < 0 $
- $ x - 8 < 0 $
- Produto: positivo
- Para $ -2 < x < 8 $:
- $ x + 2 > 0 $
- $ x - 8 < 0 $
- Produto: negativo
- Para $ x > 8 $:
- $ x + 2 > 0 $
- $ x - 8 > 0 $
- Produto: positivo
Passo 6
Agora, vamos juntar as informações do numerador e do denominador para determinar o sinal de $ f(x) $:
- $ e^{x} $ é sempre positivo, então o sinal de $ f(x) $ depende de $ (x + 1) $ e do denominador.
- Vamos considerar os intervalos e os sinais:
-
Para $ x < -2 $:
- $ x + 1 < -1 $ (negativo)
- Denominador: positivo
- $ f(x) $: negativo
-
Para $ -2 < x < -1 $:
- $ x + 1 < 0 $ (negativo)
- Denominador: negativo
- $ f(x) $: positivo
-
Para $ -1 < x < 8 $:
- $ x + 1 > 0 $ (positivo)
- Denominador: negativo
- $ f(x) $: negativo
-
Para $ x > 8 $:
- $ x + 1 > 0 $ (positivo)
- Denominador: positivo
- $ f(x) $: positivo
Resposta
A função $ f(x) $ é:
- Positiva para $ -2 < x < -1 $ e $ x > 8 $.
- Negativa para $ x < -2 $ e $ -1 < x < 8 $.
- Nula quando $ x = -1 $.