Exercício 3 Para cada função f, faça a análise do sinal da função, ou seja, determine para quais valores de x a função é positiva ( f(x)>0 ), negativa ( f(x)<0 ) ou nula (f(x)=0).Considere: d 8=1 ; d 7=8 ; d 6=5.
f(x)=e^x(x+d 8)(x+2)(x-d 7)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa analisar o sinal da função $ f(x) = \frac{e^{x}(x + d_8)}{(x + 2)(x - d_7)} $. Primeiro, vamos substituir os valores que foram dados: $ d_8 = 1 $ e $ d_7 = 8 $. Então, a função fica:
f(x) = e^x(x + d8)(x + 2)(x - d7)
Para descobrir onde essa função é positiva, negativa ou igual a zero, vamos analisar cada parte dela.

Passo 2

Vamos começar pelo numerador, que é $ e^{x}(x + 1) $. O $ e^{x} $ é uma função exponencial que nunca é zero e sempre positiva. Então, o sinal do numerador depende só de $ x + 1 $.

Passo 3

Analisando $ x + 1 $:
  • Se $ x + 1 > 0 $, ou seja, $ x > -1 $, essa parte é positiva.
  • Se $ x + 1 < 0 $, ou seja, $ x < -1 $, essa parte é negativa.
  • Se $ x + 1 = 0 $, ou seja, $ x = -1 $, o numerador é zero.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador: $ (x + 2)(x - 8) $. Precisamos ver onde ele é positivo ou negativo. Os pontos onde o denominador muda de sinal são $ x = -2 $ e $ x = 8 $.

Passo 5

Vamos dividir a reta numérica em intervalos com base nesses pontos críticos: $ x < -2 $, $ -2 < x < 8 $ e $ x > 8 $. Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de $ (x + 2) $ e $ (x - 8) $:
  • Para $ x < -2 $:
    • $ x + 2 < 0 $
    • $ x - 8 < 0 $
    • Produto: positivo
  • Para $ -2 < x < 8 $:
    • $ x + 2 > 0 $
    • $ x - 8 < 0 $
    • Produto: negativo
  • Para $ x > 8 $:
    • $ x + 2 > 0 $
    • $ x - 8 > 0 $
    • Produto: positivo

Passo 6

Agora, vamos juntar as informações do numerador e do denominador para determinar o sinal de $ f(x) $:
  • $ e^{x} $ é sempre positivo, então o sinal de $ f(x) $ depende de $ (x + 1) $ e do denominador.
  • Vamos considerar os intervalos e os sinais:
  1. Para $ x < -2 $:
    • $ x + 1 < -1 $ (negativo)
    • Denominador: positivo
    • $ f(x) $: negativo
  2. Para $ -2 < x < -1 $:
    • $ x + 1 < 0 $ (negativo)
    • Denominador: negativo
    • $ f(x) $: positivo
  3. Para $ -1 < x < 8 $:
    • $ x + 1 > 0 $ (positivo)
    • Denominador: negativo
    • $ f(x) $: negativo
  4. Para $ x > 8 $:
    • $ x + 1 > 0 $ (positivo)
    • Denominador: positivo
    • $ f(x) $: positivo

Resposta

A função $ f(x) $ é:
  • Positiva para $ -2 < x < -1 $ e $ x > 8 $.
  • Negativa para $ x < -2 $ e $ -1 < x < 8 $.
  • Nula quando $ x = -1 $.

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