Exercício 7. Para cada função f a seguir, conclua que não existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
f(x, y)=\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}\, ao longo do eixo \(y e da parábola y=x^{2}.)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}
e pede para concluir que não existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) usando dois caminhos de aproximação: o eixo y e a parábola y=x^{2}.
O que vamos fazer:
  • Calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo do eixo y (ou seja, tomando x=0 e y\to0).
  • Calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo da parábola y=x^{2} (ou seja, substituindo y=x^{2} e fazendo x\to0).
  • Comparar os dois resultados e usar isso para concluir se o limite total existe ou não.

Passo 2

Breve lembrete teórico (útil e simples): a definição prática de limite em duas variáveis que usamos aqui é: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe, então para qualquer caminho que leve (x,y) até (0,0) o valor de f(x,y) tende a L. Consequentemente, uma maneira direta de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que levem à origem e cujo limite de f ao longo deles seja diferente. Se acharmos dois caminhos com limites diferentes, então não pode haver um único L que seja o limite em todos os caminhos, logo o limite em \mathbb{R}^2 não existe.

Passo 3

Aproximação ao longo do eixo y: isso significa tomar x=0 e y\to0.
Substituindo x=0 em f,
f(0,y)=\frac{0^{4}}{0^{4}+y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0\qquad\text{(para }y\neq0\text{)}.
Portanto, ao aproximar-se da origem pelo eixo y,
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.
Comentário didático: fizemos uma substituição simples e simplificamos a fração. Note que embora em (0,0) a função esteja indefinida pela fórmula (divisão por zero), o valor para pontos próximos com x=0, y\neq0 é exatamente 0, então o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Aproximação ao longo da parábola y=x^{2}: isso significa substituir y=x^{2} e então fazer x\to0.
Substituindo,
f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{x^{4}+(x^{2})^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{4}+x^{4}}=\frac{x^{4}}{2x^{4}}.
Para x\neq0 podemos simplificar x^{4} no numerador e denominador:
f(x,x^{2})=\frac{1}{2}\qquad\text{(para }x\neq0\text{)}.
Logo, ao aproximar-se da origem pela parábola,
\lim_{x\to0} f(x,x^{2})=\frac{1}{2}.
Comentário didático: aqui a expressão ficou constante igual a \tfrac{1}{2} para todos os pontos da parábola (exceto a própria origem). Isso significa que, por esse caminho, a função se aproxima de \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora compare os dois limites obtidos:
  • Ao longo do eixo y o limite é 0.
  • Ao longo da parábola y=x^{2} o limite é \tfrac{1}{2}.
Como 0\neq\tfrac{1}{2}, encontramos dois caminhos que levam à origem e fornecem limites diferentes. Pelo raciocínio do Passo 2, isso impede a existência de um único limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Conclusão: o limite total não existe.

Resposta

Limite ao longo do eixo y: 0
Limite ao longo da parábola y=x^{2}: \tfrac{1}{2}
Conclusão: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.

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