Exercício 7. Para cada função
a seguir, conclua que não existe
, utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
e da parábola
.)
e da parábola
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para concluir que não existe
usando dois caminhos de aproximação: o eixo
e a parábola
.
O que vamos fazer:
- Calcular o limite de
quando ao longo do eixo (ou seja, tomando e ). - Calcular o limite de
quando ao longo da parábola (ou seja, substituindo e fazendo ). - Comparar os dois resultados e usar isso para concluir se o limite total existe ou não.
Passo 2
Breve lembrete teórico (útil e simples): a definição prática de limite em duas variáveis que usamos aqui é: se
existe, então para qualquer caminho que leve
até
o valor de
tende a
. Consequentemente, uma maneira direta de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que levem à origem e cujo limite de
ao longo deles seja diferente. Se acharmos dois caminhos com limites diferentes, então não pode haver um único
que seja o limite em todos os caminhos, logo o limite em
não existe.
Passo 3
Aproximação ao longo do eixo
: isso significa tomar
e
.
Substituindo
em
,
Portanto, ao aproximar-se da origem pelo eixo
,
Comentário didático: fizemos uma substituição simples e simplificamos a fração. Note que embora em
a função esteja indefinida pela fórmula (divisão por zero), o valor para pontos próximos com
é exatamente
, então o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 4
Aproximação ao longo da parábola
: isso significa substituir
e então fazer
.
Substituindo,
Para
podemos simplificar
no numerador e denominador:
Logo, ao aproximar-se da origem pela parábola,
Comentário didático: aqui a expressão ficou constante igual a
para todos os pontos da parábola (exceto a própria origem). Isso significa que, por esse caminho, a função se aproxima de
.
Passo 5
Agora compare os dois limites obtidos:
- Ao longo do eixo
o limite é . - Ao longo da parábola
o limite é .
Como
, encontramos dois caminhos que levam à origem e fornecem limites diferentes. Pelo raciocínio do Passo 2, isso impede a existência de um único limite
. Conclusão: o limite total não existe.
Resposta
Limite ao longo do eixo
:
Limite ao longo da parábola :
Conclusão: não existe.
Limite ao longo da parábola
Conclusão: