Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
g) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x-\operatorname{sen} 2 x-\cos x}{2 x+3 \operatorname{sen} 4 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0} \frac{6x - \operatorname{sen} 2x - \cos x}{2x + 3\operatorname{sen} 4x}
Aqui vamos usar os desenvolvimentos em série de Taylor de \operatorname{sen} x e \cos x em torno de 0 (ou seja, limites fundamentais e cancelamentos) para ver se o numerador e o denominador tendem a zero ou a algum valor não nulo.

Passo 2

Desenvolvemos em torno de 0:
\operatorname{sen} 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{4}{3}x^3 + o(x^3),
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2).
Substituindo no numerador:
6x - \operatorname{sen} 2x - \cos x =6x - \Bigl(2x - \tfrac{4}{3}x^3 + o(x^3)\Bigr) - \Bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr).
Agrupando termos:
6x - 2x -1 + \frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}x^3 + o(x^2) = -1 + 4x + \frac{x^2}{2} + O(x^3).

Passo 3

Fazemos o mesmo para o denominador:
3\operatorname{sen} 4x = 3\Bigl(4x - \frac{(4x)^3}{6} + o(x^3)\Bigr) =12x - 32x^3 + o(x^3),
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2x + 3\operatorname{sen} 4x = 2x + 12x - 32x^3 + o(x^3) =14x - 32x^3 + o(x^3).

Passo 4

Juntando: para x\to0, o numerador tende a -1 (constante!) e o denominador tende a 0 de forma proporcional a 14x.
Assim
\frac{6x - \operatorname{sen} 2x - \cos x}{2x + 3\operatorname{sen} 4x} \sim \frac{-1}{14x} \quad\text{quando }x\to0.
Isso diverge: à direita de 0 -\infty e à esquerda dá +\infty.

Resposta

O limite não existe (diverge), pois
\lim_{x\to0^+}\frac{6x - \operatorname{sen} 2x - \cos x}{2x + 3\operatorname{sen} 4x}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{6x - \operatorname{sen} 2x - \cos x}{2x + 3\operatorname{sen} 4x}=+\infty.

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