Exercício 1. Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente, o vetor gradiente no ponto
e calcule a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor unitário associado a
.
;
Passo 1
O exercício pede para determinar o vetor gradiente da função
, avaliá-lo no ponto
e, em seguida, calcular a derivada direcional em
na direção do vetor unitário associado a
. Vamos usar derivadas parciais (regra do quociente) e o conceito de derivada direcional.
Passo 2
Aplique a regra do quociente: se
com
e
, então
onde
Passo 3
Avalie o gradiente em
: o denominador fica
e o numerador de
é
, de
é
. Logo,
Passo 4
Para a derivada direcional, primeiro obtenha o vetor unitário
com
, ou seja,
. Então
Resposta
O vetor gradiente é
no ponto
vale
e a derivada direcional em
na direção de
é