Exercício 1. Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente, o vetor gradiente no ponto P e calcule a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor unitário associado a v.
f(x, y)=xx^2+y^2, P=(1,2), v=(3,5);

Passo 1

O exercício pede para determinar o vetor gradiente da função f(x,y)=xx^2+y^2, avaliá-lo no ponto P=(1,2) e, em seguida, calcular a derivada direcional em P na direção do vetor unitário associado a vec v=(3,5). Vamos usar derivadas parciais (regra do quociente) e o conceito de derivada direcional.

Passo 2

Aplique a regra do quociente: se f(x,y)=N(x,y)D(x,y) com N=x e D=x^2+y^2, então
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr),,
onde
partial fpartial x=1cdot(x^2+y^2)-xcdot2x(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2,

Passo 3

Avalie o gradiente em P=(1,2): o denominador fica (1^2+2^2)^2=25 e o numerador de partial f/partial x é 2^2-1^2=3, de partial f/partial y é -2cdot1cdot2=-4. Logo,

Passo 4

Para a derivada direcional, primeiro obtenha o vetor unitário u=vec v|vec v| com |vec v|=raiz3^2+5^2=raiz34, ou seja, u=(3/raiz34,5/raiz34). Então

Resposta

O vetor gradiente é
nabla f(x,y)=l(y^2-x^2(x^2+y^2)^2,-2xy(x^2+y^2)^2r),
no ponto P=(1,2) vale
nabla f(1,2)=l(325,-425r),
e a derivada direcional em P na direção de vec v é

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