Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(10) p(x)=x^4-5 x^2+4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial p(x)=0, onde p(x)=x^4-5x^2+4, usando o método de Ruffini para encontrar as raízes e depois fazer um gráfico aproximado da função y=p(x). Vamos usar teoria de substituição em polinômios de grau 4 (redução a uma quadrática em x^2) e depois divisão sintética para extrair fatores lineares.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição y=x^2. Assim, a equação x^4-5x^2+4=0 vira
y^2 - 5y + 4 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em y^2 -5y+4=0:
y = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32,
logo y1=4 e y2=1. Como y = x^2, temos as equações x^2=4 e x^2=1, que renderão quatro raízes.

Passo 4

Agora usamos o método de Ruffini para confirmar e extrair fatores lineares. Primeiro, dividimos os coeficientes [1,0,-5,0,4] por x-2 (raiz 2):
Coeficientes iniciais: 1,2,-1,-2
Trazer 1 para baixo e multiplicar por 2 repetidamente:
  1. 1 → traga para baixo
  2. 1·2=2 → 0+2=2
  3. 2·2=4 → −5+4=−1
  4. (−1)·2=−2 → 0−2=−2
  5. (−2)·2=−4 → 4−4=0
Fica quociente de grau 3: x^3+2x^2-x-2 (i.e. x-2) e resto 0, confirmando como fator.

Passo 5

Em seguida, dividimos [1,2,-1,-2] por x+2 (raiz -2):
  1. traga 1 → 1
  2. 1·(−2)=−2 → 2−2=0
  3. 0·(−2)=0 → −1+0=−1
  4. (−1)·(−2)=2 → −2+2=0
Fica quociente de grau 2: 1,0,-1, ou seja x^2-1, e resto 0, confirmando x+2.

Passo 6

O polinômio agora está reduzido a
$$p(x)=(x-2)(x+2)(x^2-1).
$$

Passo 7

Por fim, resolvemos x^2-1=0, obtendo x=pm1. Portanto as raízes de p(x)=0 são
x=-2,,-1,,1,,2

Passo 8

Para esboçar o gráfico de y=p(x):
  • É uma função par (simbólica em torno de y).
  • Como coeficiente líder é positivo, yto+infty quando xtopminfty.
  • Zeros em x=-2,-1,1,2.
  • Valor em x=0: p(0)=4, é um máximo local.
  • Derivada p'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5) se anula em x=0,pmraiz5/2.
  • Em x=pmraiz5/2 temos p= (raiz5/2)^4 -5(raiz5/2)^2+4 = -9/4, mínimos locais.

Passo 9

O gráfico aproximado é um “W” suave, subindo para +∞ nos extremos, passando por y=4 em x=0, descendo até y=-9/4 em x=pmraiz5/2, e cruzando o eixo x em $-2,-1,1,2.

Resposta

As raízes de p(x)=x^4-5x^2+4=0 são x=-2,-1,1,2. O gráfico de y=p(x) é um polinômio de grau 4, parabólico (“W” suave), simétrico no eixo y, com interceptos em (-2,0), (-1,0), (1,0), (2,0), máximo local em (0,4) e mínimos locais em (pmraiz5/2,-9/4), abraçando para cima.

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