Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
.
(10)
.
(10)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação polinomial
, onde
, usando o método de Ruffini para encontrar as raízes e depois fazer um gráfico aproximado da função
. Vamos usar teoria de substituição em polinômios de grau 4 (redução a uma quadrática em
) e depois divisão sintética para extrair fatores lineares.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a substituição
. Assim, a equação
vira
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara em
:
logo
Passo 4
Agora usamos o método de Ruffini para confirmar e extrair fatores lineares. Primeiro, dividimos os coeficientes
por
(raiz
):
Coeficientes iniciais:
Coeficientes iniciais:
Trazer 1 para baixo e multiplicar por 2 repetidamente:
- 1 → traga para baixo
- 1·2=2 → 0+2=2
- 2·2=4 → −5+4=−1
- (−1)·2=−2 → 0−2=−2
- (−2)·2=−4 → 4−4=0
Fica quociente de grau 3:
(i.e.
) e resto 0, confirmando
como fator.
Passo 5
Em seguida, dividimos
por
(raiz
):
- traga 1 → 1
- 1·(−2)=−2 → 2−2=0
- 0·(−2)=0 → −1+0=−1
- (−1)·(−2)=2 → −2+2=0
Fica quociente de grau 2:
, ou seja
, e resto 0, confirmando
.
Passo 6
O polinômio agora está reduzido a
$$p(x)=(x-2)(x+2)(x^2-1).
$$
Passo 7
Por fim, resolvemos
, obtendo
. Portanto as raízes de
são
Passo 8
Para esboçar o gráfico de
:
- É uma função par (simbólica em torno de
). - Como coeficiente líder é positivo,
quando . - Zeros em
. - Valor em
: , é um máximo local. - Derivada
se anula em . - Em
temos , mínimos locais.
Passo 9
O gráfico aproximado é um “W” suave, subindo para +∞ nos extremos, passando por
em
, descendo até
em
, e cruzando o eixo
em $-2,-1,1,2.
Resposta
As raízes de
são
. O gráfico de
é um polinômio de grau 4, parabólico (“W” suave), simétrico no eixo
, com interceptos em
,
,
,
, máximo local em
e mínimos locais em
, abraçando para cima.