Encontre a transformada inversa da seguinte função.
1(s+1)^4+s-3(s-3)^2+6

Passo 1

Enunciado: Encontrar a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=1(s+1)^4+s-3(s-3)^2+6
Conteúdo: propriedades de transformada de Laplace para potências de t com decaimento exponencial e para função exponencial vezes cosseno.

Passo 2

Separamos a função em dois termos:
F(s)=F1(s)+F2(s),
onde
F1(s)=1(s+1)^4, F2(s)=s-3(s-3)^2+6

Passo 3

Para o primeiro termo usamos a fórmula
Lt^n e^-at(s)=n!(s+a)^n+1
Aqui temos n+1=4, ou seja n=3 e a=1. Logo
L^-1l(1(s+1)^4r)=t^3 e^-t3!=t^3 e^-t6

Passo 4

Para o segundo termo usamos a propriedade de deslocamento e cosseno:
Le^atcos(bt)(s)=s-a(s-a)^2+b^2
No nosso caso a=3 e b=\sqrt{6}. Assim
L^-1l(s-3(s-3)^2+6r)=e^3tcosl(raiz6,tr)

Passo 5

Somando os resultados, a transformada inversa de F(s) é a soma das duas inversas obtidas.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{t^3 e{-t}}{6}+e{3t}\cos\bigl(\sqrt{6},t\bigr)

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