Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A^1000
Passo 1
O enunciado pede A^1000, onde
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo é potência de matriz triangular. Em uma matriz triangular, cada potência continua triangular e as entradas da diagonal são elevadas à potência. As entradas acima da diagonal podem ser determinadas por recorrência.
Passo 2
Observe que, para todo k>=1,
A^k= 1 & xk & yk 0 &(-1)^k &0 0 &0 &(-1)^k ,
pois o elemento (1,1) vale 1^k=1 e os elementos (2,2),(3,3) valem (-1)^k. Vamos achar recorrentemente xk e yk.
Passo 3
Use A^k+1=A^k,A. Para a posição (1,2):
xk+1 =(1,xk,yk)cdot-2-10 =-2 - xk
Para a posição (1,3):
yk+1 =(1,xk,yk)cdot80-1 =8 - yk
As condições iniciais são x1=-2 e y1=8.
Passo 4
As recorrências
xk+1=-2 - xk, x1=-2,
yk+1=8 - yk, y1=8,
têm período 2. De fato, calculando: ;x2=0,;x3=-2,;x4=0,dots e ;y2=0,;y3=8,;y4=0,dots.
Logo, para k par, xk=0 e yk=0; para k ímpar, xk=-2 e yk=8.
Passo 5
Como 1000 é par, temos x1000=0 e y1000=0, e também (-1)^1000=1. Assim