Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^-1000

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
e pede A^-1000.
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matrizes triangulares, usando decomposição em parte diagonal e parte nilpotente, e observando que A^2=I.

Passo 2

Decomponha A=D+N, onde D é a parte diagonal e N a estritamente triangular superior:
D= 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N= 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Note que N^2=0 pois toda entrada de N^2 envolve produtos de duas entradas não nulas de N e cai em zero.

Passo 3

Calcule
A^2=(D+N)^2=D^2 + D,N + N,D + N^2
Como
D,N=N, N,D=-N, N^2=0,
segue
A^2 = D^2 + N - N = D^2
Mas
D^2= 1^2 & 0 & 0 0 & (-1)^2 & 0 0 & 0 & (-1)^2 =I,
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A^2=I

Passo 4

De A^2=I segue que A^-1=A e, em geral,
A^2k=I, A^2k+1=A
para qualquer inteiro k.

Passo 5

O expoente -1000 é par, então
A^-1000 = (A^2)^-500 = I^-500 = I

Resposta

A^-1000=I

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