Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^2301

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A^2301
sendo
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo principal é potência de matriz triangular, que podemos tratar decompondo A em parte diagonal D e parte estritamente triangular N, usando o fato de que N é nilpotente.

Passo 2

Definimos
D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N = A - D = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Note que
N^2 = 0
porque N tem apenas entradas não nulas na primeira linha e duas multiplicações dessa linha por qualquer coluna de N dão zero.

Passo 3

Pelo binômio de Newton para matrizes comutativas (aqui D e N comutam),
A^n = (D+N)^n = sumk=0^n binomnkD^,n-kN^k
Como N^2=0, só os termos k=0 e k=1 sobrevivem, logo
A^n = D^n + n,D^,n-1N

Passo 4

Calculamos separadamente
D^n = diag(1^n,(-1)^n,(-1)^n) = 1 & 0 & 0 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n ,
e
D^,n-1N = 1^n-1 & 0 & 0 0 & (-1)^n-1 & 0 0 & 0 & (-1)^n-1 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 =N
Logo
A^n = 1 & -2n & 8n 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n

Passo 5

Bastao agora substituir n=2301. Como
(-1)^2301 = -1,
temos
-2n = -2cdot2301 = -4602, 8n = 8cdot2301 = 18408

Resposta

A^2301 = 1 & -4602 & 18408 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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