Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A^2301
Passo 1
O enunciado pede para calcular
A^2301
sendo
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo principal é potência de matriz triangular, que podemos tratar decompondo A em parte diagonal D e parte estritamente triangular N, usando o fato de que N é nilpotente.
Passo 2
Definimos
D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N = A - D = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Note que
N^2 = 0
porque N tem apenas entradas não nulas na primeira linha e duas multiplicações dessa linha por qualquer coluna de N dão zero.
Passo 3
Pelo binômio de Newton para matrizes comutativas (aqui D e N comutam),
A^n = (D+N)^n = sumk=0^n binomnkD^,n-kN^k
Como N^2=0, só os termos k=0 e k=1 sobrevivem, logo