Exercício 7. Em cada item calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^-2301

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,A^-2301 onde
A = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Reparar que A é triangular superior com autovalores ,1,-1,-1. Vamos explorar a propriedade de ordem da matriz (isto é, algum expoente em que A^k=I) para simplificar essa potência.

Passo 2

Calcular A^2. Como A é triangular, basta multiplicá-la por si mesma:
A^2 = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Logo, A^2=I.

Passo 3

Da igualdade A^2=I segue que A^-1=A, pois multiplicando ambos os lados por A^-1 A = A^-1.

Passo 4

Usamos agora
A^-2301 = l(A^-1r)^2301 = A^2301
Como A^2=I, valores pares de expoente dão I e valores ímpares dão A. Como 2301 é ímpar, temos
A^2301=A

Resposta

A^-2301 = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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