Exemplo 2.2. Consideremos o PVI
Vimos, no exemplo anterior, que a EDO
, com
, apresenta solução constante
e solução geral
, em que
é uma constante real. Como
, temos
. Assim, fazendo
e
em
, obtemos
e disso resulta
. Logo,
é solução do PVI.
Passo 1
O problema dá o problema de valor inicial (PVI)
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.]
Passo 2
Primeiro, vamos justificar e aplicar o método de separação de variáveis (explicando passo a passo). A equação
pode ser escrita como derivada de
em função de
:
A ideia de separação é isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro, para podermos integrar cada lado em sua variável. Para isso, supondo momentaneamente
, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Observação importante: dividir por
exige
. A solução constante
deve ser tratada separadamente — e, de fato,
satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial
. Portanto continuamos com
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vou lembrar a integral básica que usamos: para
vale
. No nosso caso usamos
, então
Do outro lado,
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa só), obtemos
onde
é uma constante real que reúne
e
.
Passo 4
Resolva a expressão acima para
. Multiplicando por
,
Definindo
(apenas para escrever de forma mais simples), obtemos
Invertendo ambos os lados (novamente assumindo
), temos a forma explícita da solução geral (não-nula):
Note que isto coincide com a forma já mencionada no enunciado.
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral,
Como
, segue que
Resolvendo para
,
Passo 6
Substituindo
na solução geral, obtemos
Para deixar mais bonito, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom na prova): calculo
de
. Escrevendo
,
Já
é satisfeito, e
também. Além disso, o denominador
é sempre positivo, então a solução está definida para todo
.)