Exemplo 2.2. Consideremos o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-4 x y^{2} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
Vimos, no exemplo anterior, que a EDO y^{\prime}=-4 x y^{2}, com y=y(x), apresenta solução constante y(x)=0 e solução geral y=\frac{1}{2 x^{2}+k}, em que k é uma constante real. Como y(0)=3, temos y \neq 0. Assim, fazendo x=0 e y=3 em y=\frac{1}{2 x^{2}+k}, obtemos 3(0+k)=1 e disso resulta k=\frac{1}{3}. Logo, y=\frac{3}{6 x^{2}+1} é solução do PVI.

Passo 1

O problema dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-4 x y^{2},\\[4pt] y(0)=3 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) há a solução constante }y(x)=0,áçã
\text{(ii) há a solução geral }y(x)=\frac{1}{2x^{2}+k}\text{, com }k\in\mathbb{R}.áçã
A pergunta é: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=3.]

Passo 2

Primeiro, vamos justificar e aplicar o método de separação de variáveis (explicando passo a passo). A equação y'=-4xy^{2} pode ser escrita como derivada de y em função de x:
\frac{dy}{dx}=-4x y^{2}.
A ideia de separação é isolar os termos com y de um lado e os termos com x do outro, para podermos integrar cada lado em sua variável. Para isso, supondo momentaneamente y\neq 0, dividimos ambos os lados por y^{2} e multiplicamos por dx:
\frac{dy}{y^{2}}=-4x\,dx.
Observação importante: dividir por y^{2} exige y\neq 0. A solução constante y\equiv 0 deve ser tratada separadamente — e, de fato, y\equiv 0 satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial y(0)=3. Portanto continuamos com y\neq 0.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vou lembrar a integral básica que usamos: para n\neq -1 vale \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}. No nosso caso usamos n=-2, então
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}+C_{1}.
Do outro lado,
\int -4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2}+C_{2} = -2x^{2}+C_{2}.
Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa só), obtemos
-\frac{1}{y}=-2x^{2}+C,
onde C é uma constante real que reúne C_{1} e C_{2}.

Passo 4

Resolva a expressão acima para y. Multiplicando por -1,
\frac{1}{y}=2x^{2}-C.
Definindo k=-C (apenas para escrever de forma mais simples), obtemos
\frac{1}{y}=2x^{2}+k.
Invertendo ambos os lados (novamente assumindo 2x^{2}+k\neq 0), temos a forma explícita da solução geral (não-nula):
y(x)=\frac{1}{2x^{2}+k}.
Note que isto coincide com a forma já mencionada no enunciado.

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=3. Substituindo x=0 na expressão geral,
y(0)=\frac{1}{2\cdot 0^{2}+k}=\frac{1}{k}.
Como y(0)=3, segue que
\frac{1}{k}=3.
Resolvendo para k,
k=\frac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo k=\dfrac{1}{3} na solução geral, obtemos
y(x)=\frac{1}{2x^{2}+\dfrac{1}{3}}.
Para deixar mais bonito, multiplicamos numerador e denominador por 3:
y(x)=\frac{3}{6x^{2}+1}.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom na prova): calculo y' de y(x)=\dfrac{3}{6x^{2}+1}. Escrevendo y=3(6x^{2}+1)^{-1},
y' = 3\cdot(-1)(6x^{2}+1)^{-2}\cdot(12x) = -\frac{36x}{(6x^{2}+1)^{2}}.
-4x y^{2} = -4x\left(\frac{3}{6x^{2}+1}\right)^{2} = -4x\cdot\frac{9}{(6x^{2}+1)^{2}} = -\frac{36x}{(6x^{2}+1)^{2}}. \] Portanto \(y'=-4x y^{2} é satisfeito, e y(0)=3 também. Além disso, o denominador 6x^{2}+1 é sempre positivo, então a solução está definida para todo x\in\mathbb{R}.)

Resposta

y(x)=\dfrac{3}{6x^{2}+1}

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