Resolva as EDO’s e os PVI’s:
x y^{\prime}+\frac{1}{2} y=x \ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x y^{\prime}+\frac{1}{2}y = x \ln x
e pede que a resolvamos (EDO). Não foi fornecida nenhuma condição inicial específica, então vou obter a solução geral e, em seguida, explicar como determinar a constante caso seja dado um PVI do tipo y(x_{0})=y_{0}. As informações relevantes que temos são: a incógnita é y=y(x); a variável independente é x; aparece \ln x, portanto a equação só faz sentido para x>0. Também é necessário ter x\neq 0 ao dividir por x.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de primeira ordem dividindo tudo por x (válido para x\neq 0; junto com \ln x isso restringe a x>0):
y^{\prime} + \frac{1}{2x}y = \ln x.
Aqui, a equação está na forma y' + p(x)y = q(x) com p(x)=\dfrac{1}{2x} e q(x)=\ln x. Essa é a situação típica para usar um fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona.

Passo 3

Fator integrante: é uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)y. A condição é
\mu'(x) = p(x)\mu(x),
ou seja \dfrac{\mu'(x)}{\mu(x)} = p(x). Assim
\mu(x) = \exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
No nosso caso p(x)=\dfrac{1}{2x}, então
\mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{1}{2x}\,dx\right) = \exp\!\left(\frac{1}{2}\ln x\right).
Usando propriedades do exponencial temos \exp\!\left(\frac{1}{2}\ln x\right)=x^{1/2}=\sqrt{x} (novamente assumindo x>0). Portanto escolhemos
\mu(x)=\sqrt{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\sqrt{x}:
\sqrt{x}\,y' + \frac{1}{2x}\sqrt{x}\,y = \sqrt{x}\,\ln x.
O termo da esquerda é exatamente a derivada do produto \sqrt{x}\,y. Para verificar:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\,y\big) = \sqrt{x}\,y' + \frac{1}{2\sqrt{x}}\,y = \sqrt{x}\,y' + \frac{1}{2x}\sqrt{x}\,y.
Logo podemos escrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\,y\big) = \sqrt{x}\,\ln x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em x:
\sqrt{x}\,y = \int \sqrt{x}\,\ln x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos calcular a integral
\int x^{1/2}\ln x\,dx.
Fazemos integração por partes. Escolhemos
u=\ln x \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx,
dv = x^{1/2}\,dx \quad\Rightarrow\quad v=\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{1/2}\ln x\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \int \frac{2}{3}x^{3/2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando do segundo termo:
\int \frac{2}{3}x^{3/2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{4}{9}x^{3/2}.
Portanto
\int x^{1/2}\ln x\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para \sqrt{x}\,y obtemos
\sqrt{x}\,y = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C.
Dividindo por \sqrt{x}=x^{1/2} para isolar y:
y = \frac{2}{3}x\ln x - \frac{4}{9}x + C x^{-1/2}.
É conveniente reescrever a constante multiplicada por x^{-1/2} como C x^{-1/2} ou \dfrac{C}{\sqrt{x}}. Esta é a solução geral válida para x>0. Lembre-se: a presença de \ln x e de \sqrt{x} limita o domínio a x>0.

Passo 7

Como o enunciado mencionava também PVI (problemas de valor inicial), mostro como determinar C se houver uma condição y(x_{0})=y_{0} com x_{0}>0. Substituindo x=x_{0} na forma antes de dividir:
\sqrt{x_{0}}\,y_{0} = \frac{2}{3}x_{0}^{3/2}\ln x_{0} - \frac{4}{9}x_{0}^{3/2} + C.
Isolando C:
C = \sqrt{x_{0}}\,y_{0} - \frac{2}{3}x_{0}^{3/2}\ln x_{0} + \frac{4}{9}x_{0}^{3/2}.
Ou, isolando diretamente na forma de y,
C = x_{0}^{1/2}\Big(y_{0} - \frac{2}{3}x_{0}\ln x_{0} + \frac{4}{9}x_{0}\Big).

Resposta

y(x)=\frac{2}{3}x\ln x - \frac{4}{9}x + C x^{-1/2},\quad x>0
C = x_{0}^{1/2}\Big(y_{0} - \frac{2}{3}x_{0}\ln x_{0} + \frac{4}{9}x_{0}\Big)\\ (\text{para o PVI }y(x_{0})=y_{0},\\ x_{0}>0)

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