Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos (EDO). Não foi fornecida nenhuma condição inicial específica, então vou obter a solução geral e, em seguida, explicar como determinar a constante caso seja dado um PVI do tipo
. As informações relevantes que temos são: a incógnita é
; a variável independente é
; aparece
, portanto a equação só faz sentido para
. Também é necessário ter
ao dividir por
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de primeira ordem dividindo tudo por
(válido para
; junto com
isso restringe a
):
Aqui, a equação está na forma
com
e
. Essa é a situação típica para usar um fator integrante. Vou explicar o que é isso e por que funciona.
Passo 3
Fator integrante: é uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de
. A condição é
ou seja
. Assim
No nosso caso
, então
Usando propriedades do exponencial temos
(novamente assumindo
). Portanto escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O termo da esquerda é exatamente a derivada do produto
. Para verificar:
Logo podemos escrever a equação como
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Precisamos calcular a integral
Fazemos integração por partes. Escolhemos
Aplicando integração por partes
:
Simplificando o integrando do segundo termo:
Portanto
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
obtemos
Dividindo por
para isolar
:
É conveniente reescrever a constante multiplicada por
como
ou
. Esta é a solução geral válida para
. Lembre-se: a presença de
e de
limita o domínio a
.
Passo 7
Como o enunciado mencionava também PVI (problemas de valor inicial), mostro como determinar
se houver uma condição
com
. Substituindo
na forma antes de dividir:
Isolando
:
Ou, isolando diretamente na forma de
,