Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
Passo 1
Enunciado: encontrar um fator integrante para a EDO e resolvê‑la:
Informações dadas:
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar um fator integrante (dependendo só de
ou só de , se possível). - Usar esse fator integrante para resolver a equação (achar a solução geral implícita).
Passo 2
Transformo a EDO em forma diferencial
. Multiplicando por
tenho
Logo
Passo 3
Verifico se a equação já é exata: calculo as derivadas parciais
Como
(pois
), a forma não é exata. Então procuro um fator integrante.
Passo 4
Procuro um fator integrante que dependa só de
. A condição padrão é obter uma função
tal que
seja exata. Derivando a condição de exatidão para esse caso (mostro a ideia rapidamente): se
então
leva a
Portanto calculo o lado direito:
que depende só de
. Logo existe
e ela satisfaz
Integro ambos os lados:
Posso escolher (tirando a constante multiplicativa)
. Para trabalhar de forma simples escolho
(admitindo
; o caso
será discutido depois).
Passo 5
Multiplico a equação original por
. Obtenho a nova forma exata:
ou seja
Verifico exatidão:
são iguais, portanto a forma é exata.
Passo 6
Como a forma é exata, existe uma função potencial
tal que
e
Integro
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora derivo
em relação a
:
Comparo com
:
Agora integro
:
Faço a integral por partes (duas vezes) para
. Primeiro:
Em seguida:
Logo
Substituindo:
Portanto
Assim a função potencial é
Passo 7
A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é dada por
constante, ou seja
Observação sobre
: usamos
(que anula-se em
), mas a solução
é admissível? Substituindo
na EDO original temos
e com
isso é satisfeito, então
corresponde à constante
na família implícita acima (verifique: para
o lado esquerdo é
). Portanto a solução
está incluída na família implícita.