Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
y+\left(2 x-y e^{y}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

Enunciado: encontrar um fator integrante para a EDO e resolvê‑la:
y+\left(2x-ye^{y}\right)y'=0.
Informações dadas:
y+\left(2x-ye^{y}\right)\frac{dy}{dx}=0.
Perguntas que o enunciado faz:
  • Determinar um fator integrante (dependendo só de x ou só de y, se possível).
  • Usar esse fator integrante para resolver a equação (achar a solução geral implícita).

Passo 2

Transformo a EDO em forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando por dx tenho
y\,dx+(2x-ye^{y})\,dy=0.
Logo
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2x-ye^{y}.

Passo 3

Verifico se a equação já é exata: calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (pois 1\neq2), a forma não é exata. Então procuro um fator integrante.

Passo 4

Procuro um fator integrante que dependa só de y. A condição padrão é obter uma função \mu(y) tal que \mu(y)M\,dx+\mu(y)N\,dy seja exata. Derivando a condição de exatidão para esse caso (mostro a ideia rapidamente): se \mu=\mu(y) então
\frac{d}{dy}(\mu M)=\frac{d}{dx}(\mu N)
leva a
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{N_x-M_y}{M}.
Portanto calculo o lado direito:
\frac{N_x-M_y}{M}=\frac{2-1}{y}=\frac{1}{y},
que depende só de y. Logo existe \mu(y) e ela satisfaz
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{1}{y}.
Integro ambos os lados:
\ln|\mu(y)|=\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C.
Posso escolher (tirando a constante multiplicativa) \mu(y)=|y|. Para trabalhar de forma simples escolho \mu(y)=y (admitindo y\neq0; o caso y=0 será discutido depois).

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(y)=y. Obtenho a nova forma exata:
y\cdot y\,dx + y(2x-ye^{y})\,dy=0,
ou seja
\tilde M(x,y)=y^{2},\qquad \tilde N(x,y)=2xy-y^{2}e^{y}.
Verifico exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2y,
são iguais, portanto a forma é exata.

Passo 6

Como a forma é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=y^{2}
e
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N(x,y)=2xy-y^{2}e^{y}.
Integro \frac{\partial \Phi}{\partial x}=y^{2} em relação a x:
\Phi(x,y)=\int y^{2}\,dx = xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora derivo \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2xy+h'(y).
Comparo com \tilde N:
2xy+h'(y)=2xy-y^{2}e^{y}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=-y^{2}e^{y}.
Agora integro h'(y):
h(y)=\int -y^{2}e^{y}\,dy.
Faço a integral por partes (duas vezes) para \int y^{2}e^{y}\,dy. Primeiro:
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y}-\int 2y e^{y}\,dy.
Em seguida:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y}-\int e^{y}\,dy = y e^{y}-e^{y}.
Logo
\int 2y e^{y}\,dy = 2(y e^{y}-e^{y})=2y e^{y}-2e^{y}.
Substituindo:
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y}-(2y e^{y}-2e^{y})=e^{y}(y^{2}-2y+2).
Portanto
h(y)=-e^{y}(y^{2}-2y+2)+C.
Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=xy^{2}-e^{y}(y^{2}-2y+2)+C.

Passo 7

A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é dada por \Phi(x,y)= constante, ou seja
xy^{2}-e^{y}(y^{2}-2y+2)=C.
Observação sobre y=0: usamos \mu(y)=y (que anula-se em y=0), mas a solução y\equiv0 é admissível? Substituindo y\equiv0 na EDO original temos 0+(2x-0)y'=0 e com y'=0 isso é satisfeito, então y\equiv0 corresponde à constante C=-2 na família implícita acima (verifique: para y=0 o lado esquerdo é -2). Portanto a solução y\equiv0 está incluída na família implícita.

Resposta

xy^{2}-e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)=C

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