Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
x^{2}+y^{2}+\left(x^{3}+3 x y^{2}+2 x y\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine um fator integrante para a EDO dada e, em seguida, resolva a equação. A EDO dada é
x^{2}+y^{2}+\left(x^{3}+3 x y^{2}+2 x y\right) y^{\prime}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=x^{2}+y^{2},
N(x,y)=x^{3}+3x y^{2}+2x y.
A tarefa é: achar um fator integrante (se existir, possivelmente dependendo só de x ou só de y) que torne a diferencial exata, e então resolver obtendo a solução implícita.

Passo 2

Primeiro transformo a EDO em forma diferencial clássica:
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Uma equação diferencial na forma M\,dx+N\,dy=0 é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Condição prática de exatidão: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}. Vou calcular essas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+3x y^{2}+2x y)=3x^{2}+3y^{2}+2y.
Como 2y\neq 3x^{2}+3y^{2}+2y em geral, a equação não é exata na forma dada. Precisamos então procurar um fator integrante \mu que torne \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 exata.

Passo 3

Explico a ideia do fator integrante de forma didática e simples. Se escolhermos um fator integrante que dependa só de y, isto é \mu=\mu(y), a condição de exatidão para a equação multiplicada por \mu(y) é
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Desenvolvendo a derivada do lado esquerdo e cancelando \mu (não nula), obtemos
\mu' M+\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu\frac{\partial N}{\partial x} \quad\Rightarrow\quad \frac{\mu'}{\mu}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
O lado direito deve depender apenas de y para que essa igualdade defina uma ODE para \mu(y). Então calculo
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{(3x^{2}+3y^{2}+2y)-2y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =3.
Surpresa agradável: o quociente é a constante 3, que depende de nenhuma das variáveis, logo em particular depende só de y. Portanto existe um fator integrante que depende somente de y. Agora resolvo para \mu:
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=3 \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dy}\ln(\mu(y))=3.
Integrando em y:
\ln(\mu(y))=3y + C_0.
Posso tomar C_0=0 (qualquer constante multiplicativa pode ser absorvida na constante final da solução), então
\mu(y)=e^{3y}.
Conclusão: um fator integrante é \mu(y)=e^{3y}.

Passo 4

Multiplico a equação original pelo fator integrante \mu(y)=e^{3y}. Obtenho a nova equação exata candidata:
\widetilde{M}(x,y)\,dx+\widetilde{N}(x,y)\,dy=0
com
\widetilde{M}(x,y)=e^{3y}(x^{2}+y^{2}),
\widetilde{N}(x,y)=e^{3y}(x^{3}+3x y^{2}+2x y).
Verifico a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y} = e^{3y}\cdot 3(x^{2}+y^{2}) + e^{3y}\cdot 2y = e^{3y}(3x^{2}+3y^{2}+2y),
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} = e^{3y}\cdot(3x^{2}+3y^{2}+2y).
Como são iguais, a equação multiplicada por e^{3y} é de fato exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=e^{3y}(x^{2}+y^{2}).
Integro essa expressão em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int e^{3y}(x^{2}+y^{2})\,dx = e^{3y}\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x). Agora imposto a outra condição \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N} para determinar h(y):
Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{3y}\cdot 3\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right) + e^{3y}\cdot (2x y) + h'(y).
Simplificando o primeiro termo:
e^{3y}\cdot 3\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right) = e^{3y}\left(x^{3}+3x y^{2}\right).
Portanto
\frac{\partial \Phi}{\partial y}= e^{3y}\left(x^{3}+3x y^{2}+2x y\right) + h'(y).
Mas isso deve ser igual a \widetilde{N}=e^{3y}(x^{3}+3x y^{2}+2x y). Logo
h'(y)=0 \quad\Rightarrow\quad h(y)=C,
com C constante. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=e^{3y}\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right)+C.

Passo 6

A solução implícita geral da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é dada por
\Phi(x,y)=\text{constante}.
Ou seja,
e^{3y}\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right)=C,
onde C é uma constante arbitrária. Podemos, se preferir, multiplicar ambos os lados por 3 e renomear a constante para obter uma forma alternativa:
e^{3y}\left(x^{3}+3x y^{2}\right)=C',
com C'=3C.

Resposta

e^{3y}\left(\frac{x^{3}}{3}+x y^{2}\right)=C

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