Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine um fator integrante para a EDO dada e, em seguida, resolva a equação. A EDO dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tarefa é: achar um fator integrante (se existir, possivelmente dependendo só de
ou só de
) que torne a diferencial exata, e então resolver obtendo a solução implícita.
Passo 2
Primeiro transformo a EDO em forma diferencial clássica:
Uma equação diferencial na forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
Condição prática de exatidão:
. Vou calcular essas derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata na forma dada. Precisamos então procurar um fator integrante
que torne
exata.
Passo 3
Explico a ideia do fator integrante de forma didática e simples. Se escolhermos um fator integrante que dependa só de
, isto é
, a condição de exatidão para a equação multiplicada por
é
Desenvolvendo a derivada do lado esquerdo e cancelando
(não nula), obtemos
O lado direito deve depender apenas de
para que essa igualdade defina uma ODE para
. Então calculo
Surpresa agradável: o quociente é a constante
, que depende de nenhuma das variáveis, logo em particular depende só de
. Portanto existe um fator integrante que depende somente de
. Agora resolvo para
:
Integrando em
:
Posso tomar
(qualquer constante multiplicativa pode ser absorvida na constante final da solução), então
Conclusão: um fator integrante é
.
Passo 4
Multiplico a equação original pelo fator integrante
. Obtenho a nova equação exata candidata:
com
Verifico a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação multiplicada por
é de fato exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe
tal que
Integro essa expressão em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Agora imposto a outra condição
para determinar
:
Calculo :
Calculo
Simplificando o primeiro termo:
Portanto
Mas isso deve ser igual a
. Logo
com
constante. Assim a função potencial é
Passo 6
A solução implícita geral da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é dada por
Ou seja,
onde
é uma constante arbitrária. Podemos, se preferir, multiplicar ambos os lados por
e renomear a constante para obter uma forma alternativa:
com
.