Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
3(x+y)^{2}+x(3 y+2 x) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3(x+y)^{2}+x(3 y+2 x) y'=0
e pede que determinemos um fator integrante e, com ele, resolvamos a EDO. Informações importantes que temos:
M(x,y)=3(x+y)^{2},\qquad N(x,y)=x(3y+2x).
O que se pede: encontrar um fator integrante \mu(x,y) que torne a forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
exata, e então resolver a EDO (ou seja, achar a família de curvas solução).

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação já é exata. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=6(x+y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3y+4x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} a equação não é exata. Observação útil: M e N são funções homogêneas do mesmo grau (grau 2), pois cada termo tem grau total 2 em x,y. Para formas homogêneas do mesmo grau existe um fator integrante padrão que costuma funcionar, que vamos usar no passo seguinte.

Passo 3

Teorema prático (explicação rápida): se M e N são homogêneas do mesmo grau n, então
\mu(x,y)=\frac{1}{xM(x,y)+yN(x,y)}
é um possível fator integrante (isso vem da propriedade de homogeneidade e da identidade de Euler para funções homogêneas; não preciso provar aqui todo o teorema, mas é um resultado clássico usado em provas e exercícios).
Vamos aplicá-lo. Primeiro calculamos
xM+yN = x\cdot 3(x+y)^2 + y\cdot x(3y+2x).
Expandindo e simplificando:
xM+yN = 3x(x+y)^2 + x y(3y+2x) = x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr).
Portanto escolhemos
\mu(x,y)=\frac{1}{x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu. Obtemos a forma exata
\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0,
isto é
\frac{3(x+y)^2}{x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)}\,dx +\frac{3y+2x}{3x^2+8xy+6y^2}\,dy = 0.
Vamos verificar (de forma prática) que essa forma é exata encontrando uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\Phi_x = \frac{3(x+y)^2}{x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)}, \qquad \Phi_y = \frac{3y+2x}{3x^2+8xy+6y^2}.

Passo 5

Integramos \Phi_y em relação a y (pois \Phi_y é mais simples):
defina
u=3x^2+8xy+6y^2.
Note que \dfrac{du}{dy}=8x+12y=4(2x+3y) e que o numerador (3y+2x) aparece relacionado a 2x+3y. Então
\Phi_y=\frac{3y+2x}{u}=\frac{2x+3y}{u}.
Fazendo a substituição du=4(2x+3y)\,dy obtemos
\Phi_y\,dy = \frac{2x+3y}{u}\,dy = \frac{1}{4}\frac{du}{u}.
Integrando em y (com x considerado constante) dá
\Phi(x,y)=\frac{1}{4}\ln\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)+H(x),
onde H(x) é uma função a determinar.

Passo 6

Agora impondo \Phi_x igual à expressão de \mu M encontramos H'(x). Calculamos \Phi_x derivando a expressão anterior:
\Phi_x = \frac{1}{4}\cdot\frac{6x+8y}{3x^2+8xy+6y^2} + H'(x) = \frac{3x+4y}{2\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)} + H'(x).
Devemos ter
\Phi_x = \frac{3(x+y)^2}{x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)}.
Subtraindo os termos comuns e resolvendo para H'(x):
H'(x)=\frac{3(x+y)^2}{x\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)}-\frac{3x+4y}{2\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)} =\frac{1}{3x^2+8xy+6y^2}\left(\frac{6(x+y)^2 - x(3x+4y)}{2x}\right).
Agora observe que o numerador dentro do parêntese simplifica:
6(x+y)^2 - x(3x+4y) = 6(x^2+2xy+y^2) - (3x^2+4xy) = 3x^2+8xy+6y^2,
que é exatamente u. Assim
H'(x)=\frac{1}{u}\cdot\frac{u}{2x}=\frac{1}{2x}.
Integrando,
H(x)=\frac{1}{2}\ln x + C.

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{1}{4}\ln\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)+\frac{1}{2}\ln x + C.
As soluções da equação exata são dadas por \Phi(x,y)=\text{const}. Podemos simplificar as somas de logaritmos:
\Phi(x,y)=\frac{1}{4}\ln\bigl(3x^2+8xy+6y^2\bigr)+\frac{1}{2}\ln x =\frac{1}{4}\ln\bigl(x^2(3x^2+8xy+6y^2)\bigr).
Portanto a condição implícita da solução é
\ln\bigl(x^2(3x^2+8xy+6y^2)\bigr)=\text{const}',
ou, exponenciando,
x^{2}\bigl(3x^{2}+8xy+6y^{2}\bigr)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{2}\bigl(3x^{2}+8xy+6y^{2}\bigr)=C

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