Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que determinemos um fator integrante e, com ele, resolvamos a EDO. Informações importantes que temos:
O que se pede: encontrar um fator integrante
que torne a forma diferencial
exata, e então resolver a EDO (ou seja, achar a família de curvas solução).
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação já é exata. Calculamos as derivadas parciais:
Como
a equação não é exata. Observação útil:
e
são funções homogêneas do mesmo grau (grau
), pois cada termo tem grau total
em
. Para formas homogêneas do mesmo grau existe um fator integrante padrão que costuma funcionar, que vamos usar no passo seguinte.
Passo 3
Teorema prático (explicação rápida): se
e
são homogêneas do mesmo grau
, então
é um possível fator integrante (isso vem da propriedade de homogeneidade e da identidade de Euler para funções homogêneas; não preciso provar aqui todo o teorema, mas é um resultado clássico usado em provas e exercícios).
Vamos aplicá-lo. Primeiro calculamos
Vamos aplicá-lo. Primeiro calculamos
Expandindo e simplificando:
Portanto escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a forma exata
isto é
Vamos verificar (de forma prática) que essa forma é exata encontrando uma função potencial
tal que
Passo 5
Integramos
em relação a
(pois
é mais simples):
defina
defina
Note que
e que o numerador
aparece relacionado a
. Então
Fazendo a substituição
obtemos
Integrando em
(com
considerado constante) dá
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Agora impondo
igual à expressão de
encontramos
. Calculamos
derivando a expressão anterior:
Devemos ter
Subtraindo os termos comuns e resolvendo para
:
Agora observe que o numerador dentro do parêntese simplifica:
que é exatamente
. Assim
Integrando,
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial é
As soluções da equação exata são dadas por
. Podemos simplificar as somas de logaritmos:
Portanto a condição implícita da solução é
ou, exponenciando,
onde
é constante arbitrária.