Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
y^2=x e y-x+2=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região entre as curvas
x = y^2 e y - x + 2 = 0
O conteúdo principal é o método de discos (ou anéis) para revolução em torno de um eixo, e vamos usar a fórmula
V = integraly=a^y=b pil[R(y)^2 - r(y)^2r],dy,
onde R(y) e r(y) são, respectivamente, a distância máxima e mínima ao eixo y da região em cada altura y.

Passo 2

Determinar os limites em y encontrando a interseção das curvas. Da reta y - x + 2=0 segue x = y + 2. Igualando com x = y^2:
y^2 = y + 2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0 Longrightarrow (y-2)(y+1)=0,
portanto os pontos de interseção têm y=-1 e y=2. Assim, a região varia de y=-1 até y=2.

Passo 3

Para cada yin[-1,2], a abscissa esquerda da região é xmin=y^2 (parábola) e a abscissa direita é xmax=y+2 (reta). Ao girar em torno do eixo y, isso gera um anel de raio externo
R(y)=xmax=y+2
e raio interno
r(y)=xmin=y^2

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume por anéis:
V = integraly=-1^2 pil[(y+2)^2 - (y^2)^2r],dy = pi integral-1^2 l[(y+2)^2 - y^4r],dy

Passo 5

Expandindo o integrando:
(y+2)^2 - y^4 = l(y^2 + 4y +4r) - y^4 = -y^4 + y^2 +4y +4
Integramos termo a termo:
integral l(-y^4+y^2+4y+4r)dy = -y^55 + y^33 + 2y^2 + 4y
Avaliaremos de -1 a 2.

Passo 6

Calculemos a primitiva em y=2:
-2^55 + 2^33 + 2cdot2^2 + 4cdot2 = -325 + 83 + 8 + 8 = 240 + 40 - 9615 = 18415
Em y=-1:
-(-1)^55 + (-1)^33 + 2cdot(-1)^2 + 4cdot(-1) = 15 - 13 + 2 - 4 = -2 - 215 = -3215
A diferença dá
integral-1^2l(-y^4+y^2+4y+4r)dy = 18415 - l(-tfrac3215r) = 21615 = 725
Multiplicando por pi, obtemos o volume.

Resposta

V = 72pi5

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