Exercício 3.7.5. Para cada item, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região entre as curvas
O conteúdo principal é o método de discos (ou anéis) para revolução em torno de um eixo, e vamos usar a fórmula
onde
e
são, respectivamente, a distância máxima e mínima ao eixo
da região em cada altura
.
Passo 2
Determinar os limites em
encontrando a interseção das curvas. Da reta
segue
. Igualando com
:
portanto os pontos de interseção têm
e
. Assim, a região varia de
até
.
Passo 3
Para cada
, a abscissa esquerda da região é
(parábola) e a abscissa direita é
(reta). Ao girar em torno do eixo
, isso gera um anel de raio externo
e raio interno
Passo 4
Aplicando a fórmula do volume por anéis:
Passo 5
Expandindo o integrando:
Integramos termo a termo:
Avaliaremos de
a
.
Passo 6
Calculemos a primitiva em
:
Em
:
A diferença dá
Multiplicando por
, obtemos o volume.