Exercício 3.2. Mostre que a EDO dada em cada item é homogênea e resolva as EDO’s e o PVI.
Passo 1
Enunciado e dados: temos a equação diferencial ordinária
e o enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a EDO é homogênea; (2) resolver a EDO e o PVI (problema de valor inicial). Informação importante: a equação envolve divisão por
, então
. O enunciado não fornece um valor inicial explícito
; portanto eu vou obter a solução geral e também explicitar como obter a solução particular caso seja dado um PVI
com
.
Passo 2
O que significa “homogênea” aqui (explicação didática): para uma EDO de primeira ordem da forma
dizemos que
é homogêneo de grau zero (o que costuma-se chamar simplesmente “equação homogênea” em muitos cursos) se
pode ser escrita como uma função apenas da razão
. Alternativamente,
é homogêneo de grau zero se
para todo
. Isso significa que a dependência em
e
aparece apenas combinada na razão
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: a função do lado direito é
Faço a álgebra para mostrar que depende apenas de
:
Como
, de fato
depende apenas de
. Portanto a equação é homogênea (de grau zero) e podemos usar a técnica padrão para EDOs homogêneas: a substituição
onde
. Esta substituição transforma a EDO em uma equação em
que geralmente é separável ou mais simples.
Passo 4
Computo a derivada usando
. Pela regra do produto:
Agora substituo na equação original:
Mas
, então
Isolo
:
Divido por
(lembrando
):
Passo 5
Agora temos uma equação em
que é separável. Faço a separação de variáveis:
Explico a ideia: separar significa colocar todos os termos com
no lado esquerdo e todos os termos em
no lado direito, para poder integrar ambos os lados.
Passo 6
Integro ambos os lados:
As integrais são básicas:
e
. Então
onde
é constante de integração.
Passo 7
Resolvo para
: exponencio ambos os lados:
Posso absorver o sinal e
numa constante arbitrária
, escrevendo
Aqui tomei
e permiti
com sinal livre (ou seja,
pode ser qualquer número real não nulo; ao permitir
a forma também é válida se o lado direito for zero). Assim
Passo 8
Volto à variável original
usando
:
Renomeando a constante arbitrária
por
(notação usual), obtenho a solução geral:
Passo 9
Checagem rápida (verificação): calculo
da solução e verifico que satisfaz a EDO. Derivo:
Calculo o lado direito original:
que coincide com
. Logo a solução está correta.
Passo 10
PVI (caso haja um valor inicial): se for dado um PVI
com
, substituo na solução geral para determinar
:
Portanto a solução particular fica
Observação importante: não é possível dar uma solução única se o problema pedisse um PVI sem fornecer
; por isso entreguei a solução geral e a fórmula acima para o caso em que o PVI seja especificado.