Exercício 6: Em cada item, identifique se a equação diferencial é separável, homogênea, exata ou linear e encontre a solução utilizando o método adequado:
(sen(2 x)-2 x y) d x+(e^3 y-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
(sin(2x)-2xy),dx+(e^3y-x^2),dy=0
entre separável, homogênea, exata ou linear e em seguida resolver pelo método adequado; vamos usar teoria de equações exatas.

Passo 2

Definimos as funções
M(x,y)=sin(2x)-2xy, N(x,y)=e^3y-x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-2x, partial Npartial x=-2x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)=sin(2x)-2xy
Integramos em relação a x:
F(x,y)=integral(sin(2x)-2xy),dx=-tfrac12cos(2x)-x^2y+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial Fpartial y=-x^2+h'(y)=N(x,y)=e^3y-x^2,
segue que
h'(y)=e^3y,
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h(y)=integral e^3y,dy=tfrac13e^3y
Assim
F(x,y)=-tfrac12cos(2x)-x^2y+tfrac13e^3y

Passo 5

A solução geral vem de F(x,y)=C, ou seja, de forma implícita:

Resposta

A equação é exata e a solução implícita geral é
-tfrac12cos(2x)-x^2y+tfrac13e^3y=C

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