Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{arctg}(12 \mathrm{x}-7)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{arctg}\bigl(12x-7\bigr).
O conteúdo principal aqui é a derivada da função inversa da tangente, junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Lembrando a regra de derivação de \operatorname{arctg}(u):
\frac{d}{dx}\!\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^{2}}.

Passo 3

Identificamos a função interna
u(x)=12x-7,
cuja derivada é
u'(x)=12.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) =\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}} =\frac{12}{1+(12x-7)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{12}{1+(12x-7)^{2}}.

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