Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função f, onde:
f(x) \doteq x \cdot \sqrt{x-4}, \quad para x \in \mathbb{R} \backslash\{4\}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma primitiva (uma antiderivada) da função
f(x) \doteq x \cdot \sqrt{x-4},
definida para x \in \mathbb{R}\setminus\{4\}.
Informações dadas: a expressão de f(x) é x vezes a raiz quadrada de x-4. Não há outras restrições explícitas no enunciado além da indicação do domínio.

Passo 2

Qual método escolher? Vou usar uma substituição simples para “eliminar” a raiz e transformar a expressão numa soma de potências (essa é a forma mais direta e rápida em prova). A ideia é definir uma nova variável que seja exatamente o argumento da raiz, assim trabalhamos com potências inteiras/fracionárias fáceis de integrar.

Passo 3

Faço a substituição
u = x-4.
Então
x = u+4 \qquad\text{e}\qquad dx = du.
Explico o porquê: a raiz \sqrt{x-4} vira \sqrt{u}, que escrevemos como u^{1/2}; como dx=du não aparecem fatores extras complicando a integral.

Passo 4

Substituindo na integral da primitiva (vou trabalhar com a integral indefinida)
\int x\sqrt{x-4}\,dx = \int (u+4)\sqrt{u}\,du.
Agora uso a regra de potências: \sqrt{u}=u^{1/2} e (u+4)u^{1/2} = u^{3/2} + 4u^{1/2}. Então
\int (u+4)\sqrt{u}\,du = \int \bigl(u^{3/2} + 4u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra básica de integração para potências: para p\neq -1,
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui temos duas potências: u^{3/2} e u^{1/2}. Calculando cada uma:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int 4u^{1/2}\,du = 4\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = 4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{8}{3}u^{3/2}.
Somando e adicionando a constante de integração C,
F(u) = \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{8}{3}u^{3/2} + C.

Passo 6

Retorno à variável original x substituindo u = x-4:
F(x) = \frac{2}{5}(x-4)^{5/2} + \frac{8}{3}(x-4)^{3/2} + C.
Esta é uma antiderivada de f (válida nos intervalos onde a expressão faz sentido).

Passo 7

Verificação rápida (útil em prova): derivando F(x) obtemos
F'(x) = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(x-4)^{3/2} + \frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}(x-4)^{1/2} = (x-4)^{3/2} + 4(x-4)^{1/2}.
Fatorando (x-4)^{1/2}:
F'(x) = (x-4)^{1/2}\bigl((x-4)+4\bigr) = (x-4)^{1/2}\,x = x\sqrt{x-4},
que é exatamente f(x). Então F é realmente uma primitiva.

Resposta

\boxed{\,F(x)=\frac{2}{5}(x-4)^{5/2}+\frac{8}{3}(x-4)^{3/2}+C\,}

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