Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função
, onde:
para
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma primitiva (uma antiderivada) da função
definida para
.
Informações dadas: a expressão de é
vezes a raiz quadrada de
. Não há outras restrições explícitas no enunciado além da indicação do domínio.
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
Qual método escolher? Vou usar uma substituição simples para “eliminar” a raiz e transformar a expressão numa soma de potências (essa é a forma mais direta e rápida em prova). A ideia é definir uma nova variável que seja exatamente o argumento da raiz, assim trabalhamos com potências inteiras/fracionárias fáceis de integrar.
Passo 3
Faço a substituição
Então
Explico o porquê: a raiz
vira
, que escrevemos como
; como
não aparecem fatores extras complicando a integral.
Passo 4
Substituindo na integral da primitiva (vou trabalhar com a integral indefinida)
Agora uso a regra de potências:
e
. Então
Passo 5
Aplicamos a regra básica de integração para potências: para
,
Aqui temos duas potências:
e
. Calculando cada uma:
Somando e adicionando a constante de integração
,
Passo 6
Retorno à variável original
substituindo
:
Esta é uma antiderivada de
(válida nos intervalos onde a expressão faz sentido).
Passo 7
Verificação rápida (útil em prova): derivando
obtemos
Fatorando
:
que é exatamente
. Então
é realmente uma primitiva.