Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função f, onde: f(x) \doteq \frac{8 \cdot x^{2}}{x^{3}+2}, \quad para \quad x \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma primitiva (ou antiderivada) da função
f(x) \doteq \frac{8\cdot x^{2}}{x^{3}+2},
para x\in\mathbb{R}. Ou seja, quero uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) em todo ponto onde f está definida. Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações imediatas:
A expressão de f é \displaystyle f(x)=\frac{8x^{2}}{x^{3}+2}.
Note que o denominador se anula quando x^{3}+2=0, isto é, em x=-\sqrt[3]{2}. Nesses pontos f não está definida; portanto a primitiva será válida em intervalos em que x^{3}+2\neq0 (por exemplo em (-\infty,-\sqrt[3]{2}) e em (-\sqrt[3]{2},\infty)).
O objetivo explícito: encontrar F(x) tal que F'(x)=\dfrac{8x^{2}}{x^{3}+2}, e apresentar a constante de integração C.
Passo 2
Vamos escrever a integral indefinida correspondente à primitiva. A primitiva F satisfaz
F(x)=\int \frac{8x^{2}}{x^{3}+2}\,dx.
Primeiro passo operacional: tirar constantes fora da integral. A constante 8 pode sair:
F(x)=8\int \frac{x^{2}}{x^{3}+2}\,dx.
Agora observo que o denominador x^{3}+2 tem derivada 3x^{2}, que aparece (até constante) no numerador. Isso sugere a substituição u=x^{3}+2 — um truque padrão: quando o numerador é praticamente a derivada do denominador, substituição simples resolve a integral.
Passo 3
Faço a substituição explicada:
u = x^{3}+2.
Calculo du. Diferenciando, du = 3x^{2}\,dx. Dessa igualdade podemos isolar x^{2}\,dx:
Agora lembro do fato básico da integral de 1/u: uma primitiva de 1/u (para u\neq0) é \ln|u|. Explico por que: \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u}. O valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural \ln só está definido para argumentos positivos, mas a primitiva deve funcionar tanto para u>0 quanto para u<0 (em cada intervalo onde u não muda de sinal). Assim
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
Aplicando isso à nossa integral:
F(x)=\frac{8}{3}\ln|u| + C.
Passo 5
Volto à variável original usando u=x^{3}+2. Assim a primitiva fica
F(x)=\frac{8}{3}\ln\bigl|x^{3}+2\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre que essa expressão é válida em qualquer intervalo no qual x^{3}+2 não muda de sinal (ou seja, em intervalos que não contenham x=-\sqrt[3]{2}), o que coincide com o domínio de f.
Passo 6
Faço uma verificação rápida por diferenciação (é sempre bom checar na prova): diferencio F:
que é exatamente f(x). Então a primitiva encontrada está correta.
Passo 7
Um reforço didático com um exemplo parecido (para treinar a técnica): calcule \displaystyle \int \frac{6x^{2}}{x^{3}+1}\,dx. Repetindo o mesmo raciocínio: u=x^{3}+1, du=3x^{2}dx, logo a integral vira \displaystyle \frac{6}{3}\int \frac{1}{u}\,du = 2\ln|u|+C = 2\ln|x^{3}+1|+C. Mesma ideia — reconhecer a derivada do denominador no numerador.