Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas: a expressão é
e a variável
vai para
. Não há outros dados.
Passo 2
Observação inicial (tipo “o que está acontecendo”): para grandes
temos
aproximadamente do mesmo tamanho que
, então a expressão é um caso do tipo “infinito menos infinito”, que é indeterminado. Para resolver esse tipo de indeterminação vamos usar um truque algébrico simples: multiplicar a expressão por
escrito como a razão entre a conjugada e ela mesma. Escrevo isso explicitamente:
Passo 3
Agora faço a multiplicação no numerador (produto notável:
vezes
=
) e simplifico:
Esse passo elimina a indeterminação ao transformar a diferença de raízes em uma razão mais tratável.
Passo 4
Para estudar o limite dessa nova forma, fatoro
na raiz do denominador (isso é permitido porque estamos olhando
, ou seja,
suficientemente grande):
Substituindo no quociente e dividindo numerador e denominador por
, obtenho
Aqui usei a propriedade básica de frações: se multiplico numerador e denominador por
(com
), a expressão é a mesma.
Passo 5
Agora aplico limites termo a termo usando que
e
quando
, e que a função
é contínua no entorno de
. Então
Portanto o quociente tende a
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o truque da conjugada transformou a diferença de ordem
em uma expressão que converge para um número finito; o resultado
faz sentido porque o termo linear
no numerador é o que domina o comportamento da diferença. Como verificação mental rápida, para um caso semelhante mais simples,
dá
pelo mesmo procedimento.