Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 \cdot x+6}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-5x+6}-x\bigr).
Informações dadas: a expressão é \sqrt{x^{2}-5x+6}-x e a variável x vai para \infty. Não há outros dados.

Passo 2

Observação inicial (tipo “o que está acontecendo”): para grandes x temos \sqrt{x^{2}-5x+6} aproximadamente do mesmo tamanho que x, então a expressão é um caso do tipo “infinito menos infinito”, que é indeterminado. Para resolver esse tipo de indeterminação vamos usar um truque algébrico simples: multiplicar a expressão por 1 escrito como a razão entre a conjugada e ela mesma. Escrevo isso explicitamente:
\sqrt{x^{2}-5x+6}-x = \bigl(\sqrt{x^{2}-5x+6}-x\bigr)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x}.

Passo 3

Agora faço a multiplicação no numerador (produto notável: a-b vezes a+b = a^{2}-b^{2}) e simplifico:
\begin{aligned} \sqrt{x^{2}-5x+6}-x &= \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-5x+6}\bigr)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} \\\ &= \frac{x^{2}-5x+6 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} \\\ &= \frac{-5x+6}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x}. \end{aligned}
Esse passo elimina a indeterminação ao transformar a diferença de raízes em uma razão mais tratável.

Passo 4

Para estudar o limite dessa nova forma, fatoro x na raiz do denominador (isso é permitido porque estamos olhando x\to\infty, ou seja, x>0 suficientemente grande):
\sqrt{x^{2}-5x+6}=x\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}.
Substituindo no quociente e dividindo numerador e denominador por x, obtenho
\frac{-5x+6}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} = \frac{-5+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}+1}.
Aqui usei a propriedade básica de frações: se multiplico numerador e denominador por 1/x (com x\neq0), a expressão é a mesma.

Passo 5

Agora aplico limites termo a termo usando que \dfrac{6}{x}\to 0 e \dfrac{5}{x}\to 0 quando x\to\infty, e que a função \sqrt{\,\cdot\,} é contínua no entorno de 1. Então
\sqrt{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1}=1.
Portanto o quociente tende a
\frac{-5+0}{1+1}=\frac{-5}{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o truque da conjugada transformou a diferença de ordem x em uma expressão que converge para um número finito; o resultado -\tfrac{5}{2} faz sentido porque o termo linear -5x no numerador é o que domina o comportamento da diferença. Como verificação mental rápida, para um caso semelhante mais simples, \sqrt{x^{2}+2x}-x \tfrac{2}{2}=1 pelo mesmo procedimento.

Resposta

-\dfrac{5}{2}

Exercícios relacionados