Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão é um polinômio de terceira ordem em
: os termos são
,
e
. O que se pede é o comportamento da soma desses termos quando
tende a
.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): em polinômios, quando
vai para infinito em módulo, o termo de maior grau costuma dominar o valor do polinômio. Aqui o termo de maior grau é
(grau
). Isso significa que, para
muito grande em módulo, os termos de grau menor (
,
) são desprezíveis comparados a
. Vou tornar isso mais preciso dividindo a expressão por
.
Passo 3
Dividimos a expressão por
para ver a contribuição relativa dos termos:
Aqui explique o que aparece:
vem de
e
vem de
.
Passo 4
Analisamos os limites das partes:
- Quando
temos porque uma potência ímpar preserva o sinal de . - Quando
temos e (porque e dividir por um número que cresce sem limite dá zero).
Portanto,
Passo 5
Agora combinamos os dois fatos: para
,
Como o segundo fator tende a um número finito diferente de zero (aqui
, que é negativo), o produto tende a infinito com o sinal dado pelo produto dos sinais:
é negativo muito grande (ou seja,
) e o segundo fator é aproximadamente
(negativo). O produto de dois termos negativos é positivo, então o produto diverge para
. Assim
Passo 6
Cheque rápido por tentativa numérica (apenas para intuição): para
,
um número grande e positivo; para
o valor fica ainda maior e positivo. Isso confirma a conclusão anterior.