Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-2 \cdot x^{3}+x^{2}+3 \cdot x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(-2\cdot x^{3}+x^{2}+3\cdot x\right).
Informações dadas: a expressão é um polinômio de terceira ordem em x: os termos são -2x^{3}, x^{2} e 3x. O que se pede é o comportamento da soma desses termos quando x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): em polinômios, quando x vai para infinito em módulo, o termo de maior grau costuma dominar o valor do polinômio. Aqui o termo de maior grau é -2x^{3} (grau 3). Isso significa que, para x muito grande em módulo, os termos de grau menor ( x^{2}, 3x) são desprezíveis comparados a x^{3}. Vou tornar isso mais preciso dividindo a expressão por x^{3}.

Passo 3

Dividimos a expressão por x^{3} para ver a contribuição relativa dos termos:
-2x^{3}+x^{2}+3x = x^{3}\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right).
Aqui explique o que aparece: \frac{1}{x} vem de x^{2}/x^{3} e \frac{3}{x^{2}} vem de (3x)/x^{3}.

Passo 4

Analisamos os limites das partes:
  • Quando x\to -\infty temos \displaystyle x^{3}\to -\infty porque uma potência ímpar preserva o sinal de x.
  • Quando x\to -\infty temos \displaystyle \frac{1}{x}\to 0 e \displaystyle \frac{3}{x^{2}}\to 0 (porque x^{2}\to +\infty e dividir por um número que cresce sem limite dá zero).
Portanto,
\lim_{x\to -\infty}\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right) = -2.

Passo 5

Agora combinamos os dois fatos: para x\to -\infty,
x^{3}\longrightarrow -\infty \qquad\text{e}\qquad \left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right)\longrightarrow -2.
Como o segundo fator tende a um número finito diferente de zero (aqui -2, que é negativo), o produto tende a infinito com o sinal dado pelo produto dos sinais: x^{3} é negativo muito grande (ou seja, -\infty) e o segundo fator é aproximadamente -2 (negativo). O produto de dois termos negativos é positivo, então o produto diverge para +\infty. Assim
\lim_{x\to -\infty} x^{3}\left(-2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}\right) = +\infty.

Passo 6

Cheque rápido por tentativa numérica (apenas para intuição): para x=-100,
-2(-100)^{3}+(-100)^{2}+3(-100)= -2(-1\,000\,000)+10\,000-300 = 2\,000\,000+9\,700 \approx 2{,}009{,}700,
um número grande e positivo; para x=-1000 o valor fica ainda maior e positivo. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

+\infty

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