Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-y^{2}-4 x+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
x^{2}-y^{2}-4x+4y=0
e, quando possível, obter a sua equação canônica, o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade, o ponto de interseção e um esboço do gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para descobrir o tipo de curva.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando termos em x e em y:
x^{2}-4x \;-\;\bigl(y^{2}-4y\bigr)=0.
Agora completamos quadrados em cada grupo:
x^{2}-4x+4 \;-\;\bigl(y^{2}-4y+4\bigr) \;-\;4+4=0,
ou seja,
(x-2)^{2}\;-\;(y-2)^{2}=0.

Passo 3

A forma
(x-2)^{2}-(y-2)^{2}=0
é idêntica a
(x-2 - (y-2))\,(x-2 + (y-2))=0,
isto é,
(x-y)\,(x+y-4)=0.

Passo 4

Portanto a “cônica” é, na verdade, um caso degenerado de hipérbole: ela se decompõe em duas retas reais, dadas por
\begin{cases} x - y = 0,\\\ x + y - 4 = 0. \end{cases}

Passo 5

O ponto de interseção dessas duas retas satisfaz
x - y = 0\quad\Rightarrow\quad x=y \quad\text{e}\quad x+y-4=0\quad\Rightarrow\quad 2x=4,
logo
x=y=2.
Esse ponto (2,2) é também o “centro” (interseção das assintotas) da hipérbole degenerada.

Passo 6

Por se tratar de caso degenerado, não existem vértices isolados, focos, diretriz nem excentricidade no sentido clássico: a curva é apenas o par de retas acima. As próprias retas são as “assintotas” da hipérbole degenerada, e não há ramo de hipérbole propriamente dito.

Resposta

Classificação: caso degenerado de hipérbole (duas retas reais).
Equação fatorada:
(x-y)(x+y-4)=0.
Retas componentes: x - y = 0 e x + y - 4 = 0.
Centro (ponto de interseção): (2,2).
Vértices, focos, diretriz e excentricidade: não se aplicam (não há ramo de hipérbole).
Assintotas: as próprias retas x-y=0 e x+y-4=0.
Ponto de interseção: (2,2).
Esboço: dois traços de reta cruzando em (2,2), um com inclinação 1 e outro com inclinação -1.

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