Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
x^{2}-2 x-y^{2}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica
x^{2}-2x - y^{2} +2y = 0,
colocá-la em forma canônica, achar o centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas, excentricidade, o ponto de interseção e esboçar o gráfico.

Passo 2

Usamos o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC para classificar:
A = 1,\quad B = 0,\quad C = -1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta = 0^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = 4 > 0,
portanto é, em princípio, uma hipérbola.

Passo 3

Para escrever em forma canônica, completamos quadrados:
x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1, \quad -y^{2} +2y = -\bigl((y-1)^{2} - 1\bigr).
Logo
x^{2}-2x - y^{2} +2y = (x-1)^{2} - 1 \;-\;\bigl((y-1)^{2} -1\bigr) = (x-1)^{2} - (y-1)^{2}.
A equação fica
(x-1)^{2} - (y-1)^{2} = 0.

Passo 4

Fatorando,
(x-1)^{2} - (y-1)^{2} = \bigl[(x-1)-(y-1)\bigr]\;\bigl[(x-1)+(y-1)\bigr] = (x-y)\,(x+y-2) =0.
Isto mostra que a cônica é o par de retas
\ell_{1}:\;x - y = 0, \quad \ell_{2}:\;x + y - 2 = 0.

Passo 5

O ponto de interseção das retas (centro da hipérbola degenerada) vem de
\begin{cases} x - y = 0,\\\ x + y - 2 = 0. \end{cases}
Da primeira x=y. Substituindo na segunda 2x-2=0, obtemos x=1, y=1. Portanto o centro é (1,1).

Passo 6

Como o lado direito na forma canônica é zero, trata-se de uma hipérbola degenerada (par de retas). Não há vértices, focos, diretrizes nem excentricidade definidas no caso degenerado. As próprias retas \ell_{1} e \ell_{2} são as “assíntotas” da configuração.

Resposta

Classificação: hipérbola degenerada (par de retas).
Equação fatorada: (x-y)(x+y-2)=0.
Centro (interseção): (1,1).
Vértices, focos, diretrizes e excentricidade: não se definem (caso degenerado).
Assíntotas: \ell_{1}:x-y=0 e \ell_{2}:x+y-2=0.
Esboço: duas retas perpendiculares de inclinações +1 e -1 cruzando em (1,1).

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