Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a cônica
colocá-la em forma canônica, achar o centro, vértices, focos, diretrizes, assíntotas, excentricidade, o ponto de interseção e esboçar o gráfico.
Passo 2
Usamos o discriminante
para classificar:
portanto é, em princípio, uma hipérbola.
Passo 3
Para escrever em forma canônica, completamos quadrados:
Logo
A equação fica
Passo 4
Fatorando,
Isto mostra que a cônica é o par de retas
Passo 5
O ponto de interseção das retas (centro da hipérbola degenerada) vem de
Da primeira
. Substituindo na segunda
, obtemos
,
. Portanto o centro é
.
Passo 6
Como o lado direito na forma canônica é zero, trata-se de uma hipérbola degenerada (par de retas). Não há vértices, focos, diretrizes nem excentricidade definidas no caso degenerado. As próprias retas
e
são as “assíntotas” da configuração.
Resposta
Classificação: hipérbola degenerada (par de retas).
Equação fatorada: .
Centro (interseção): .
Vértices, focos, diretrizes e excentricidade: não se definem (caso degenerado).
Assíntotas: e
.
Esboço: duas retas perpendiculares de inclinações e
cruzando em
.
Equação fatorada:
Centro (interseção):
Vértices, focos, diretrizes e excentricidade: não se definem (caso degenerado).
Assíntotas:
Esboço: duas retas perpendiculares de inclinações