Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a classificação da cônica, sua forma canônica (quando possível), o centro, vértices, focos, retas diretriz, assíntotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e o esboço do gráfico. Para isso vamos completar quadrados em
e em
e identificar os parâmetros de uma elipse.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Dentro de cada grupo:
e
.
Substituindo:
Substituindo:
Distribuindo e somando constantes:
Passo 3
Passamos para a forma normal dividindo por
:
Como ambos os denominadores são positivos e diferentes, trata-se de uma elipse. O centro é
Os semi-eixos são
logo o eixo maior é vertical.
Passo 4
Os vértices sobre o eixo maior (vertical) são
Os vértices sobre o eixo menor (horizontal) são
Passo 5
Em uma elipse vale
. Aqui
Os focos, tomando o eixo maior vertical, são
A excentricidade é
Passo 6
As retas diretriz de uma elipse com eixo maior vertical são horizontais e dadas por
Passo 7
Para achar interseções com os eixos, substituímos
(eixo
) e
(eixo
) na forma original.
- Se
:
Interseção:
, que coincide com o vértice
.
- Se
:
Interseção:
, que coincide com o vértice
.
Passo 8
Assíntotas pertencem a hipérboles; uma elipse não possui assíntotas.
Resposta
Classificação: elipse.
Equação canônica:
Equação canônica:
Centro:
.
Semi-eixos: (vertical),
(horizontal).
Vértices:
(eixo maior);
(eixo menor).
Focos:
.
Excentricidade: .
Retas diretriz:
.
Assíntotas: nenhuma.
Interseções com os eixos: e
.
Semi-eixos:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Retas diretriz:
Assíntotas: nenhuma.
Interseções com os eixos:
Esboço: elipse centrada em
, maior alongada verticalmente até
e
, menor até
e
.