Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
16 x^{2}+9 y^{2}-96 x+72 y+144=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
16x^{2}+9y^{2}-96x+72y+144=0
e pede a classificação da cônica, sua forma canônica (quando possível), o centro, vértices, focos, retas diretriz, assíntotas, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e o esboço do gráfico. Para isso vamos completar quadrados em x e em y e identificar os parâmetros de uma elipse.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
16(x^2-6x)+9(y^2+8y)+144=0.
Dentro de cada grupo:
x^2-6x=(x-3)^2-9 e y^2+8y=(y+4)^2-16.
Substituindo:
16\bigl((x-3)^2-9\bigr)+9\bigl((y+4)^2-16\bigr)+144=0.
Distribuindo e somando constantes:
16(x-3)^2-144+9(y+4)^2-144+144=0 \quad\Longrightarrow\quad 16(x-3)^2+9(y+4)^2=144.

Passo 3

Passamos para a forma normal dividindo por 144:
\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y+4)^2}{16}=1.
Como ambos os denominadores são positivos e diferentes, trata-se de uma elipse. O centro é
C=(3,-4).
Os semi-eixos são
b=\sqrt{9}=3\quad\text{(horizontal)}, \qquad a=\sqrt{16}=4\quad\text{(vertical)},
logo o eixo maior é vertical.

Passo 4

Os vértices sobre o eixo maior (vertical) são
V_1=(3,-4+a)=(3,0), \qquad V_2=(3,-4-a)=(3,-8).
Os vértices sobre o eixo menor (horizontal) são
W_1=(3+b,-4)=(6,-4), \qquad W_2=(3-b,-4)=(0,-4).

Passo 5

Em uma elipse vale c^2=a^2-b^2. Aqui
c^2=4^2-3^2=16-9=7, \quad c=\sqrt{7}.
Os focos, tomando o eixo maior vertical, são
F_1=(3,-4+\sqrt{7}), \qquad F_2=(3,-4-\sqrt{7}).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 6

As retas diretriz de uma elipse com eixo maior vertical são horizontais e dadas por
y=-4\pm\frac{a}{e} =-4\pm\frac{4}{(\sqrt{7}/4)} =-4\pm\frac{16}{\sqrt{7}}.

Passo 7

Para achar interseções com os eixos, substituímos y=0 (eixo x) e x=0 (eixo y) na forma original.
  • Se y=0:
16x^2-96x+144=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Interseção: (3,0), que coincide com o vértice V_1.
  • Se x=0:
9y^2+72y+144=0 \quad\Longrightarrow\quad (y+4)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-4.
Interseção: (0,-4), que coincide com o vértice W_2.

Passo 8

Assíntotas pertencem a hipérboles; uma elipse não possui assíntotas.

Resposta

Classificação: elipse.
Equação canônica:
\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{(y+4)^2}{16}=1.
Centro: C=(3,-4).
Semi-eixos: a=4 (vertical), b=3 (horizontal).
Vértices:
(3,0),\,(3,-8) (eixo maior);
(6,-4),\,(0,-4) (eixo menor).
Focos:
(3,-4\pm\sqrt{7}).
Excentricidade: e=\tfrac{\sqrt{7}}{4}.
Retas diretriz:
y=-4\pm\frac{16}{\sqrt{7}}.
Assíntotas: nenhuma.
Interseções com os eixos: (3,0) e (0,-4).
Esboço: elipse centrada em (3,-4), maior alongada verticalmente até y=0 e y=-8, menor até x=0 e x=6.

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