Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
e, quando possível, obter a sua equação canônica, o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade, o ponto de interseção e um esboço do gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para descobrir o tipo de curva.
Passo 2
Reescrevemos a equação agrupando termos em
e em
:
Agora completamos quadrados em cada grupo:
ou seja,
Passo 3
A forma
é idêntica a
isto é,
Passo 4
Portanto a “cônica” é, na verdade, um caso degenerado de hipérbole: ela se decompõe em duas retas reais, dadas por
Passo 5
O ponto de interseção dessas duas retas satisfaz
logo
Esse ponto
é também o “centro” (interseção das assintotas) da hipérbole degenerada.
Passo 6
Por se tratar de caso degenerado, não existem vértices isolados, focos, diretriz nem excentricidade no sentido clássico: a curva é apenas o par de retas acima. As próprias retas são as “assintotas” da hipérbole degenerada, e não há ramo de hipérbole propriamente dito.
Resposta
Classificação: caso degenerado de hipérbole (duas retas reais).
Equação fatorada:
Equação fatorada:
Retas componentes:
e
.
Centro (ponto de interseção): .
Vértices, focos, diretriz e excentricidade: não se aplicam (não há ramo de hipérbole).
Assintotas: as próprias retas e
.
Ponto de interseção: .
Esboço: dois traços de reta cruzando em , um com inclinação
e outro com inclinação
.
Centro (ponto de interseção):
Vértices, focos, diretriz e excentricidade: não se aplicam (não há ramo de hipérbole).
Assintotas: as próprias retas
Ponto de interseção:
Esboço: dois traços de reta cruzando em