Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica de segunda ordem
Queremos classificar a cônica e, quando possível, escrever sua forma canônica, encontrar centro, vértices, focos, diretrizes, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e esboçar o gráfico. Para isso vamos usar o método de completar quadrados para pôr na forma padrão de uma elipse.
Passo 2
Agrupamos os termos em
e em
e completamos quadrados:
Dentro de cada parêntese, somamos e subtraímos o termo que completa o quadrado:
Dividindo por
obtemos a forma canônica da elipse:
Passo 3
Da forma
vemos que
,
, logo
,
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Centro: .
Vértices sobre o eixo maior:
Centro:
Vértices sobre o eixo maior:
Vértices (co-vértices) sobre o eixo menor:
Passo 4
Para os focos calculamos
Focos:
Excentricidade:
Passo 5
As retas diretriz de uma elipse horizontal são
Então
Passo 6
Interseções com os eixos coordenados:
- Com
:
- Com
:
Passo 7
Assintotas: nenhuma, pois elipse não tem assintotas.
Esboço: centro em
, eixos de semieixo
(horizontal) e
(vertical), vértices em
, focos em
, retas diretriz verticais em
.
Resposta
Classificação: elipse.
Forma canônica:
Forma canônica:
Centro:
.
Vértices: .
Co-vértices: .
Focos: .
Excentricidade: .
Diretrizes: .
Interseções: com o eixo em
e com o eixo
em
.
Assintotas: nenhuma.
Esboço conforme descrito acima.
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Diretrizes:
Interseções: com o eixo
Assintotas: nenhuma.
Esboço conforme descrito acima.