Exercício 1. Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintótas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
4 x^{2}+9 y^{2}-8 x-36 y+4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica de segunda ordem
4x^{2}+9y^{2}-8x-36y+4=0
Queremos classificar a cônica e, quando possível, escrever sua forma canônica, encontrar centro, vértices, focos, diretrizes, excentricidade, pontos de interseção com os eixos e esboçar o gráfico. Para isso vamos usar o método de completar quadrados para pôr na forma padrão de uma elipse.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados:
4(x^{2}-2x)+9(y^{2}-4y)+4=0.
Dentro de cada parêntese, somamos e subtraímos o termo que completa o quadrado:
4\bigl[(x^{2}-2x+1)-1\bigr]+9\bigl[(y^{2}-4y+4)-4\bigr]+4=0,
4(x-1)^{2}-4+9(y-2)^{2}-36+4=0,
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=36.
Dividindo por 36 obtemos a forma canônica da elipse:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que a^{2}=9, b^{2}=4, logo a=3, b=2. Como a>b, o eixo maior é horizontal.
Centro: (h,k)=(1,2).
Vértices sobre o eixo maior:
(1\pm a,\,2)=(1\pm3,\,2)=(-2,2)\text{ e }(4,2).
Vértices (co-vértices) sobre o eixo menor:
(1,\,2\pm b)=(1,\,2\pm2)=(1,0)\text{ e }(1,4).

Passo 4

Para os focos calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5,\quad c=\sqrt{5}.
Focos:
(1\pm c,\,2)=\bigl(1\pm\sqrt{5},\,2\bigr).
Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 5

As retas diretriz de uma elipse horizontal são
x=h\pm\frac{a}{e}
Então
x=1\pm\frac{3}{(\sqrt{5}/3)}=1\pm\frac{9}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Interseções com os eixos coordenados:
  1. Com x=0:
\frac{(0-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1\implies\frac{1}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1
\frac{(y-2)^{2}}{4}=\frac{8}{9}\implies y-2=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}\implies y=2\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}.
  1. Com y=0:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(-2)^{2}}{4}=1\implies\frac{(x-1)^{2}}{9}+1=1 \implies x-1=0\implies x=1.

Passo 7

Assintotas: nenhuma, pois elipse não tem assintotas.
Esboço: centro em (1,2), eixos de semieixo 3 (horizontal) e 2 (vertical), vértices em (-2,2),(4,2),(1,0),(1,4), focos em (1\pm\sqrt{5},2), retas diretriz verticais em x=1\pm9/\sqrt{5}.

Resposta

Classificação: elipse.
Forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.
Centro: (1,2).
Vértices: (-2,2),(4,2).
Co-vértices: (1,0),(1,4).
Focos: \bigl(1\pm\sqrt{5},2\bigr).
Excentricidade: e=\sqrt{5}/3.
Diretrizes: x=1\pm9/\sqrt{5}.
Interseções: com o eixo x em \bigl(0,\,2\pm2\sqrt{2}/3\bigr) e com o eixo y em (1,0).
Assintotas: nenhuma.
Esboço conforme descrito acima.

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