Resolva os limites a seguir utilizando a regra de L’ Hospital ( \mathbf{2 , 0} Pontos):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 3 x-\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{\tan 3x - \sin x}{\sin x}
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é identificar a forma indeterminada e aplicar L’Hôpital, isto é, derivar numerador e denominador até eliminar o 0/0.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0:
\tan(3\cdot0)=0 e \sin0=0, logo o numerador tende a 0-0=0 e o denominador a 0. Portanto temos \tfrac{0}{0}, que justifica o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x.
  • Derivada de \tan(3x) é 3\operatorname{sec}^2(3x).
  • Derivada de \sin x (no numerador) é \cos x.
  • Derivada de \sin x (no denominador) também é \cos x.
    Assim o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{sec}^2(3x) - \cos x}{\cos x}.

Passo 4

Agora substituímos x=0 nessa nova expressão:
\operatorname{sec}^2(3\cdot0)=1 e \cos0=1. Então
\frac{3\cdot1 - 1}{1} = \frac{3-1}{1} = 2.

Resposta

2

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