Resolva os limites a seguir utilizando a regra de L’ Hospital ( \mathbf{2 , 0} Pontos):
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4 x^{3}+x^{2}+3}{5 x^{5}+5}

Passo 1

Temos o limite
\lim_{x\to -1}\frac{4x^{3}+x^{2}+3}{5x^{5}+5}
e vemos que a forma é do tipo \tfrac{0}{0}, então vamos usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo x=-1:
4(-1)^{3}+(-1)^{2}+3 = -4+1+3 = 0,
5(-1)^{5}+5 = -5+5 = 0.
Portanto é \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
(4x^{3}+x^{2}+3)' = 12x^{2}+2x,
(5x^{5}+5)' = 25x^{4}.
Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to -1}\frac{4x^{3}+x^{2}+3}{5x^{5}+5} = \lim_{x\to -1}\frac{12x^{2}+2x}{25x^{4}}.

Passo 4

Agora basta substituir x=-1 na nova expressão:
12(-1)^{2}+2(-1) = 12 - 2 = 10,
25(-1)^{4} = 25\cdot 1 = 25,
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\lim_{x\to -1}\frac{12x^{2}+2x}{25x^{4}} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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