Em cada equação do tipo x^prime=f(t, x) abaixo, determine as regiões no plano t x onde a função correspondente f(t, x) está definida e tem derivada parcial em relação a x contínua por partes em t e x e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
x^prime=x raizx-2

Passo 1

Estamos com a EDO da forma x' = f(t,x) onde f(t,x) = xraizx - 2. O conteúdo aqui é identificação de domínio e continuidade de f e de partial f/partial x para garantir unicidade pelo teorema de Picard–Lindelöf.

Passo 2

Para achar onde f(t,x) está definida, observamos o termo raizx - 2. Precisamos ter
x - 2 >= 0,
ou seja
x >= 2
Logo, f só faz sentido para x >= 2. Em x < 2 a raiz fica indefinida (números complexos).

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
f(t,x) = xraizx-2,
logo usando regra do produto e derivada da raiz temos
partial fpartial x = raizx-2 + xcdot 12raizx-2

Passo 4

Analisamos a continuidade de f e de partial f/partial x:
– Para x > 2 ambas são somas e produtos de funções contínuas (raiz estrita e divisão por termo não zero), logo são contínuas.
– Em x = 2 a função f existe (vale zero), mas partial f/partial x tem divisão por zero e não está bem definida nem contínua.

Passo 5

Portanto, no interior da região onde garantimos unicidade devemos ter
x > 2

Resposta

A região de unicidade é dada por {,(t,x): x>2,} para t ∈ ℝ.

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