Em cada equação do tipo
abaixo, determine as regiões no plano
onde a função correspondente
está definida e tem derivada parcial em relação a
contínua por partes em
e
e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
Passo 1
Estamos com a EDO da forma
onde
. O conteúdo aqui é identificação de domínio e continuidade de
e de
para garantir unicidade pelo teorema de Picard–Lindelöf.
Passo 2
Para achar onde
está definida, observamos o termo
. Precisamos ter
ou seja
Logo,
só faz sentido para
. Em
a raiz fica indefinida (números complexos).
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
logo usando regra do produto e derivada da raiz temos
Passo 4
Analisamos a continuidade de
e de
:
– Para ambas são somas e produtos de funções contínuas (raiz estrita e divisão por termo não zero), logo são contínuas.
– Em a função
existe (vale zero), mas
tem divisão por zero e não está bem definida nem contínua.
– Para
– Em
Passo 5
Portanto, no interior da região onde garantimos unicidade devemos ter
Resposta
A região de unicidade é dada por {,(t,x): x>2,} para t ∈ ℝ.