Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=raizx-2 e g(x)=raizx-3;

Passo 1

O enunciado pede para, dadas as funções f(x)=raizx-2 e g(x)=raizx-3, calcular as combinações f+g, f-g, fcdot g, f/g, g/f, fcirc g, gcirc f e k f, além de determinar o domínio de cada uma.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de cada função isoladamente. Para f(x)=raizx-2 exigimos x-2>=0, ou seja x>=2. Então Dom(f)=[2,infty). Para g(x)=raizx-3 exigimos x-3>=0, ou seja x>=3. Então Dom(g)=[3,infty).

Passo 3

Para a soma usamos que Dom(f+g)=Dom(f)capDom(g). Temos
(f+g)(x)=raizx-2+raizx-3,
e Dom(f+g)=[2,infty)cap[3,infty)=[3,infty).

Passo 4

Para a diferença vale o mesmo princípio: (f-g)(x)=raizx-2-raizx-3 e o domínio continua sendo
Dom(f-g)=[3,infty).

Passo 5

No produto temos
(fcdot g)(x)=raizx-2cdotraizx-3=raiz(x-2)(x-3),
com domínio igual à interseção, isto é
Dom(fcdot g)=[3,infty).

Passo 6

Para o quociente f/g usamos que o denominador não pode ser zero nem negativo. Assim
(f/g)(x)=raizx-2raizx-3,
e além de exigir x>=3 precisamos raizx-3neq0, ou seja x>3. Logo
Dom(f/g)=(3,infty).

Passo 7

Para g/f temos
(g/f)(x)=raizx-3raizx-2,
com domínio inicial x>=3 e exigindo raizx-2neq0 (isto é x>2), mas como já temos x>=3, basta
Dom(g/f)=[3,infty).

Passo 8

Na composição fcirc g definimos (fcirc g)(x)=f(g(x))=raizraizx-3-2
Para o domínio precisamos que g(x) esteja no domínio de f e que x esteja no domínio de g. Ou seja
  1. x>=3 (para g);
  2. raizx-3-2>=0 (para f), isto é raizx-3>=2 ou x-3>=4, logo x>=7.
    Assim
    Dom(fcirc g)=[7,infty).

Passo 9

Na outra composição gcirc f temos (gcirc f)(x)=g(f(x))=raizraizx-2-3
Igualmente,
  1. x>=2 (para f);
  2. raizx-2-3>=0, isto é raizx-2>=3 ou x-2>=9, logo x>=11.
    Portanto
    Dom(gcirc f)=[11,infty).

Passo 10

Finalmente, para a multiplicação por constante k vale
(k f)(x)=kraizx-2,
e o domínio não muda em relação a f, isto é
Dom(k f)=[2,infty).

Resposta

Segue o resumo das expressões e domínios:
(f+g)(x)=raizx-2+raizx-3,Dom=[3,infty)
(f-g)(x)=raizx-2-raizx-3,Dom=[3,infty)
(fcdot g)(x)=raiz(x-2)(x-3),Dom=[3,infty)
(f/g)(x)=raizx-2raizx-3,Dom=(3,infty)
(g/f)(x)=raizx-3raizx-2,Dom=[3,infty)
(fcirc g)(x)=raizraizx-3-2,Dom=[7,infty)
(gcirc f)(x)=raizraizx-2-3,Dom=[11,infty)
(k f)(x)=kraizx-2,Dom=[2,infty)

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