A população de peixes no lago Bass crescia exponencialmente se não fosse pelo fato de que o número de pescadores também está aumentando exponencialmente. O Departamento de Recursos Naturais realizou um estudo e conclui que a população futura de peixes pode ser modelada pelo problema de valor inicial d yd t=70 e^0,14 uparrow t-120 e^0,03 t, y(0)=3.700, onde y é a população de peixes e t é o tempo (em anos) a partir da data do relatório. Se este modelo estiver correto, quantos peixes haverá no lago 10 anos após o relatório.

Passo 1

A questão dá a equação diferencial de valor inicial que modela a população de peixes: dydt = 70e^0,14t - 120e^0,03t, com y(0)=3700. O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial de primeira ordem por integração direta.

Passo 2

Observamos que dydt é a derivada de y(t), então podemos integrar o lado direito em relação a t. Ou seja, vamos achar y(t) tal que
y(t) = integral l(70e^0,14t - 120e^0,03tr),dt + C

Passo 3

Integramos cada termo separadamente. Para 70e^0,14t temos fator 0,14 no expoente, então
integral 70e^0,14t,dt = 70 cdot 10,14 e^0,14t = 500e^0,14t
Para -120e^0,03t temos fator 0,03, então
integral -120e^0,03t,dt = -120 cdot 10,03 e^0,03t = -4000e^0,03t

Passo 4

Logo a solução geral é
y(t) = 500e^0,14t - 4000e^0,03t + C

Passo 5

Para determinar C, usamos y(0)=3700. Substituindo t=0:
3700 = 500cdot1 - 4000cdot1 + C = -3500 + C implies C = 7200
Portanto
y(t) = 500e^0,14t - 4000e^0,03t + 7200

Passo 6

Para encontrar a população em t=10, calculamos
y(10) = 500e^1,4 - 4000e^0,3 + 7200 approx 500cdot4,0547 - 4000cdot1,3499 + 7200 approx 3827,9

Resposta

A população de peixes após 10 anos será aproximadamente 3828 peixes.

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