A população de peixes no lago Bass crescia exponencialmente se não fosse pelo fato de que o número de pescadores também está aumentando exponencialmente. O Departamento de Recursos Naturais realizou um estudo e conclui que a população futura de peixes pode ser modelada pelo problema de valor inicial
, onde y é a população de peixes e t é o tempo (em anos) a partir da data do relatório. Se este modelo estiver correto, quantos peixes haverá no lago 10 anos após o relatório.
Passo 1
A questão dá a equação diferencial de valor inicial que modela a população de peixes:
com
. O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial de primeira ordem por integração direta.
Passo 2
Observamos que
é a derivada de
, então podemos integrar o lado direito em relação a
. Ou seja, vamos achar
tal que
Passo 3
Integramos cada termo separadamente. Para
temos fator
no expoente, então
Para
temos fator
, então
Passo 4
Logo a solução geral é
Passo 5
Para determinar
, usamos
. Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Para encontrar a população em
, calculamos
Resposta
A população de peixes após 10 anos será aproximadamente 3828 peixes.