Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
e
;
Passo 1
A questão pede pra gente calcular várias operações entre as funções
e
: soma, diferença, produto, quocientes, composições e multiplicação por constante, e identificar o domínio de cada resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar os domínios iniciais: a raiz exige
, então
. A função
está definida pra todo real, ou seja
.
Passo 3
Cálculo de soma e diferença:
O domínio é a interseção de com
, ou seja
.
O domínio é a interseção de
Passo 4
Cálculo do produto:
O domínio também é a interseção de com
, portanto
.
O domínio também é a interseção de
Passo 5
Cálculo dos quocientes:
Aqui precisamos de e de
. A condição
dá
, mas como
basta
. Assim
.
Aqui precisamos de e de
, ou seja
. Logo
.
Aqui precisamos de
Aqui precisamos de
Passo 6
Cálculo das composições:
Para existir a raiz precisamos de , ou seja
e portanto
. Logo
.
Aqui basta ter , pois
aceita qualquer real. Então
.
Para existir a raiz precisamos de
Aqui basta ter
Passo 7
Multiplicação por constante:
Multiplicar por não muda o domínio de
, então
.
Multiplicar por
Resposta
f+g:\
,\ Dom=[0,\infty)
f-g:\
,\ Dom=[0,\infty)
f·g:\
,\ Dom=[0,\infty)
f/g:\
,\ Dom=[0,\infty)\setminus{2}
g/f:\
,\ Dom=(0,\infty)
f∘g:\
,\ Dom=[-2,2]
g∘f:\
,\ Dom=[0,\infty)
kf:\
,\ Dom=[0,\infty)