Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=raizx e g(x)=4-x^2;

Passo 1

A questão pede pra gente calcular várias operações entre as funções f(x)=raizx e g(x)=4-x^2: soma, diferença, produto, quocientes, composições e multiplicação por constante, e identificar o domínio de cada resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar os domínios iniciais: a raiz exige x>=0, então Dom(f)=[0,infty). A função g(x)=4-x^2 está definida pra todo real, ou seja Dom(g)=(-infty,infty).

Passo 3

Cálculo de soma e diferença:
(f+g)(x)=raizx+(4-x^2)=raizx+4-x^2
(f-g)(x)=raizx-(4-x^2)=raizx-4+x^2
O domínio é a interseção de [0,infty) com R, ou seja [0,infty).

Passo 4

Cálculo do produto:
(fcdot g)(x)=raizx,(4-x^2)
O domínio também é a interseção de [0,infty) com R, portanto [0,infty).

Passo 5

Cálculo dos quocientes:
(f/g)(x)=dfracraizx4-x^2
Aqui precisamos de x>=0 e de 4-x^2neq0. A condição 4-x^2neq0 xneqpm2, mas como x>=0 basta xneq2. Assim Dom(f/g)=[0,infty)setminus2.
(g/f)(x)=dfrac4-x^2raizx
Aqui precisamos de x>=0 e de raizxneq0, ou seja x>0. Logo Dom(g/f)=(0,infty).

Passo 6

Cálculo das composições:
(fcirc g)(x)=f(g(x))=raiz4-x^2
Para existir a raiz precisamos de 4-x^2>=0, ou seja x^2<=4 e portanto xin[-2,2]. Logo Dom(fcirc g)=[-2,2].
(gcirc f)(x)=g(f(x))=4-(raizx)^2=4-x
Aqui basta ter xinDom(f)=[0,infty), pois g aceita qualquer real. Então Dom(gcirc f)=[0,infty).

Passo 7

Multiplicação por constante:
(k f)(x)=kraizx
Multiplicar por k não muda o domínio de f, então Dom(k f)=[0,infty).

Resposta

f+g:\ raizx+4-x^2,\ Dom=[0,\infty)
f-g:\ raizx-4+x^2,\ Dom=[0,\infty)
f·g:\ (4-x^2)raizx,\ Dom=[0,\infty)
f/g:\ dfracraizx4-x^2,\ Dom=[0,\infty)\setminus{2}
g/f:\ dfrac4-x^2raizx,\ Dom=(0,\infty)
f∘g:\ raiz4-x^2,\ Dom=[-2,2]
g∘f:\ 4-x,\ Dom=[0,\infty)
kf:\ kraizx,\ Dom=[0,\infty)

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