Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio e assíntotas verticais, derivada primeira e monotonia, extremos locais, derivada segunda e concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas horizontais ou oblíquas, esboço do gráfico e locais de tangente vertical ou ausência de tangente.
Passo 2
Para achar o domínio, imponho
, logo
Como o denominador se anula em
mas o numerador em
vale
, temos
logo existe reta assíntota vertical em
.
Passo 3
Uso a regra do quociente para obter
Como
para todo
, o sinal de
é o do numerador
. Assim:
-
em ⇒ crescente. -
em (partes e ) ⇒ decrescente.
Passo 4
Os pontos críticos são as raízes de
:
e
. Avaliando
:
Como
muda de positivo para negativo em
, há máximo local em
. Como
muda de negativo para positivo em
, há mínimo local em
.
Passo 5
Derivando novamente
Logo:
-
se ⇒ concava para baixo em . -
se ⇒ concava para cima em .
Não há solução deem , e a mudança de concavidade em ocorre fora do domínio, portanto não há pontos de inflexão.
Passo 6
Para
basta
, dando raiz dupla
. Logo a única raiz é
.
Passo 7
Faço divisão polinomial para
:
logo há reta oblíqua
(nenhuma reta horizontal). A derivada
só se anula ou explode em
, onde
não está definida, portanto não há reta tangente vertical em ponto de continuidade nem ponto em que
seja contínua mas
não exista.
Passo 8
Esboço qualitativo:
- Eixo vertical em
(assíntota), eixo oblíquo . - Em
: curva cresce, concava para baixo, vem de (quando ) até . - Em
: decresce até no limite à esquerda de . - Em
: vem de e decresce, concava para cima, até . - Em
: cresce, concava para cima, aproximando-se de por cima.
Resposta
(a)
. Assíntota vertical em
.
(b) . Crescente em
, decrescente em
.
(c) Máximo local em , mínimo local em
.
(d) . Côncava para baixo em
, côncava para cima em
.
(e) Não há ponto de inflexão.
(f) Única raiz: .
(g) Sem assíntota horizontal; oblíqua . Sem reta tangente vertical em pontos de continuidade.
(h) Esboço conforme descrito no passo 8.
(i) Não existem pontos em que a reta tangente seja vertical com contínua.
(b)
(c) Máximo local em
(d)
(e) Não há ponto de inflexão.
(f) Única raiz:
(g) Sem assíntota horizontal; oblíqua
(h) Esboço conforme descrito no passo 8.
(i) Não existem pontos em que a reta tangente seja vertical com