Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=x^21+x

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=x^21+x
incluindo domínio e assíntotas verticais, derivada primeira e monotonia, extremos locais, derivada segunda e concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas horizontais ou oblíquas, esboço do gráfico e locais de tangente vertical ou ausência de tangente.

Passo 2

Para achar o domínio, imponho 1+xneq0, logo
D=Rsetminus-1
Como o denominador se anula em x=-1 mas o numerador em -1 vale 1neq0, temos
limxto -1^-f(x)=-infty, limxto -1^+f(x)=+infty,
logo existe reta assíntota vertical em x=-1.

Passo 3

Uso a regra do quociente para obter
f'(x) =2x(1+x)-x^2cdot1(1+x)^2 =2x+2x^2-x^2(1+x)^2 =x(x+2)(1+x)^2
Como (1+x)^2>0 para todo xneq-1, o sinal de f'(x) é o do numerador x(x+2). Assim:
  • f'(x)>0 em (-infty,-2)cup(0,infty) f crescente.
  • f'(x)<0 em (-2,0) (partes (-2,-1) e (-1,0)) ⇒ f decrescente.

Passo 4

Os pontos críticos são as raízes de f'(x): x=-2 e x=0. Avaliando f:
f(-2)=4-1=-4, f(0)=0
Como f' muda de positivo para negativo em x=-2, há máximo local em l(-2,-4r). Como f' muda de negativo para positivo em x=0, há mínimo local em l(0,0r).

Passo 5

Derivando novamente
f''(x) =ddx!l(x(x+2)(1+x)^2r) =2(1+x)^3
Logo:
  • f''(x)<0 se x<-1 ⇒ concava para baixo em (-infty,-1).
  • f''(x)>0 se x>-1 ⇒ concava para cima em (-1,infty).
    Não há solução de f''(x)=0 em D, e a mudança de concavidade em x=-1 ocorre fora do domínio, portanto não há pontos de inflexão.

Passo 6

Para f(x)=0 basta x^2=0, dando raiz dupla x=0. Logo a única raiz é x=0.

Passo 7

Faço divisão polinomial para xtopminfty:
x^2x+1 =x-1+1x+1,
logo há reta oblíqua y=x-1 (nenhuma reta horizontal). A derivada f'(x) só se anula ou explode em x=-1, onde f não está definida, portanto não há reta tangente vertical em ponto de continuidade nem ponto em que f seja contínua mas f' não exista.

Passo 8

Esboço qualitativo:
  • Eixo vertical em x=-1 (assíntota), eixo oblíquo y=x-1.
  • Em (-infty,-2): curva cresce, concava para baixo, vem de -infty (quando xto-infty) até (-2,-4).
  • Em (-2,-1): decresce até -infty no limite à esquerda de -1.
  • Em (-1,0): vem de +infty e decresce, concava para cima, até (0,0).
  • Em (0,infty): cresce, concava para cima, aproximando-se de y=x-1 por cima.

Resposta

(a) D=Rsetminus-1. Assíntota vertical em x=-1.
(b) f'(x)=x(x+2)(1+x)^2. Crescente em (-infty,-2)cup(0,infty), decrescente em (-2,0).
(c) Máximo local em l(-2,-4r), mínimo local em l(0,0r).
(d) f''(x)=2(1+x)^3. Côncava para baixo em (-infty,-1), côncava para cima em (-1,infty).
(e) Não há ponto de inflexão.
(f) Única raiz: x=0.
(g) Sem assíntota horizontal; oblíqua y=x-1. Sem reta tangente vertical em pontos de continuidade.
(h) Esboço conforme descrito no passo 8.
(i) Não existem pontos em que a reta tangente seja vertical com f contínua.

Exercícios relacionados