Para as seguintes equações diferenciais, encontre as soluções em série de potências em torno dos pontos indicados:
y^prime prime(x)+y(x)=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da EDO ,y''(x)+y(x)=0 em torno de x0=0. Vamos usar o método de séries de potências, assumindo uma expansão de y em potências de x e encontrando uma relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Suponha que
y(x) = sumn=0^infty an,x^n
Então
y''(x) = sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n
Substituindo em y''(x)+y(x)=0 e igualando os coeficientes de x^n a zero, obtemos:

Passo 3

(n+2)(n+1),an+2 + an = 0,
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an+2 = -an(n+2)(n+1), n>=0

Passo 4

Da recorrência vemos que a0 e a1 são parâmetros livres. Para índices pares ( n=2k) e ímpares ( n=2k+1) resultam as fórmulas
a2k = (-1)^k(2k)!,a0, a2k+1 = (-1)^k(2k+1)!,a1

Passo 5

Portanto a solução geral em série de potências é
y(x) = a0 sumk=0^infty(-1)^k(2k)!,x^2k ;+; a1 sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

Resposta

y(x) = a0 sumk=0^infty(-1)^k(2k)!,x^2k ;+; a1 sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

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